Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.

P = 15 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 100 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 5 kW a 300 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 12 kN/m de 0 a 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 0 m20 kN @ 6 m35 kN @ 2 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 230 mm de ancho y 16 mm de espesor, un canto total de 340 mm y un alma de 14 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 230 mmH = 340 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 150 mm de ancho y 18 mm de espesor, un canto total de 260 mm y un alma de 12 mm de espesor. Soporta un momento flector de 120 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 150 mmH = 260 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 300 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = 10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acero)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 4 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,7835 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/117000 = 0,0002612 = 261,2 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,0002612·3000 mm = 0,7835 mm

Respuesta

δ = 0,7835 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 27,4 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 100000·219911/638791 = 34426 N

Tensión

σ₂ = 34426/1257 = 27,4 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 27,4 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 13,15 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(26000·251327) = 0,2296 rad

φ = 0,2296·180/π = 13,15°

Respuesta

φ = 13,15°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 18,53 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Momento polar de inercia

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/171806 = 18,53 MPa

Respuesta

τ_max = 18,53 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 10,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 24·3,5 − 12·3,5·1,75 = 10,5 kN·m

Respuesta

M_x = 10,5 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 1 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 108 kN, R₂ = 43 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −60 kN·m, M_C = −18, M_D = −23, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −60 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 340 − 2·16 = 308 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·340³ − 216·308³)/12

I_x = 2,274 × 10⁸ mm⁴ = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 148,6 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 260 − 2·18 = 224 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·260³ − 138·224³)/12

I_x = 9,045 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

y = 130 − 18 = 112 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·112/9,045 × 10⁷ = 148,6 MPa

Respuesta

σ_j = 148,6 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 65,76 MPa

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((80 − −50)/2)² + 10²) = 65,76 MPa

Respuesta

τ_max = 65,76 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 2,822

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −25 MPa, R = 53,15 MPa

σ₁ = 28,15 MPa, σ₂ = −78,15 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 106,3 MPa

n = 300/106,3 = 2,822

Respuesta

n = 2,822

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 4,094 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(3EI) = 13000·2000³/(3·1,14 × 10¹³) = 3,041 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 1,053 mm

Súmalas

δ = 3,041 + 1,053 = 4,094 mm

Respuesta

δ = 4,094 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 44,72 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·1,61 × 10¹²) = 3,313 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 41,41 mm

Súmalas

δ_max = 3,313 + 41,41 = 44,72 mm

Respuesta

δ_max = 44,72 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 2,12 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2,12 kN

Respuesta

P_cr = 2,12 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 49,35 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Respuesta

σ_cr = 49,35 MPa

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