Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 85 kNtramo 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón transmite 15 kW a 500 rpm. La tensión cortante no debe superar 75 MPa y la torsión no debe superar 1° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 3 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 0 m25 kN @ 12 m12 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 300 mm de ancho con dos alas verticales de 60 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 14 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.

b = 300 mmh = 60 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 10 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 50° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = 10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 420 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 10,44 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/100000 = 0,005222 = 5222 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,005222·2000 mm = 10,44 mm

Respuesta

δ = 10,44 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 270,6 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 270,6 MPa

Respuesta

σ_max = 270,6 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 0,8979 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Respuesta

φ = 0,8979°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 45,5 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diámetro por resistencia

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·75)) = 26,89 mm

Diámetro por rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 45,5 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(26,89, 45,5) = 45,5 mm

Respuesta

d = 45,5 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 45 kN, R₂ = 25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 37,5, M_C = 60, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 50, M_F = 25, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 67,5 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 116,8 kN, R₂ = 64,25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −30,5, M_D = 11, M_E = 4,5, M_F = −50, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −120 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: ȳ = 14,04 mm

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 300·14 = 4200 mm², y₁ = 7 mm

dos alas: A₂ = 2·14·46 = 1288 mm², y₂ = 14 + 46/2 = 37 mm

Centroide

ȳ = (4200·7 + 1288·37)/5488 = 14,04 mm

Respuesta

ȳ = 14,04 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 4,564 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

alma: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·272,5 + 5200·130)/11200 = 206,3 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·25³/12 + 6000·(272,5 − 206,3)² = 2,658 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·260³/12 + 5200·(130 − 206,3)² = 5,96 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,658 × 10⁷ + 5,96 × 10⁷ = 8,617 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 285 − 206,3 = 78,66 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·78,66/8,617 × 10⁷ = 4,564 MPa

Respuesta

σ_superior = 4,564 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = −5,564 MPa

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 15 − (−5)·(−0,1736) − 20·0,9848 = −5,564 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = 35,56 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = −5,564 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 4,923

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −45 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = −4,689 MPa, σ₂ = −85,31 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 85,31 MPa

n = 420/85,31 = 4,923

Respuesta

n = 4,923

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 25,31 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 25,31 mm

Respuesta

δ = 25,31 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·200000·11,11) = 3 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 95,49 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1050² = 95488 N = 95,49 kN

Respuesta

P_cr = 95,49 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 27,76 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Respuesta

σ_cr = 27,76 MPa

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