Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 40 mm, longitud 200 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,5 mm en total.
tramo 1: acero, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 70 kNtramo 1: Ø30 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 750 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje hueco transmite 50 kW a 1000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.
P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector MB en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 5,5 mP1 = 55 kN en 2,5 mP2 = 35 kN en 5,5 mapoyos en x = 0 y x = 4 m
MB = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector MB en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 9,5 mw = 2 kN/m de 0 a 9,5 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
MB = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 160 mm de ancho con dos alas verticales de 160 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 10 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 160 mmh = 160 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 180 mmM = 5 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = 120 MPa y σᵧ = 10 MPa. ¿Hasta qué valor τxy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 130 MPa?
σx = 120 MPaσy = 10 MPaσ1 = 130 MPa
τxy = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −10 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido antihorario respecto al eje x.
σx = −10 MPaσy = −60 MPaτxy = 50 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1 m del apoyo A. Halla la flecha δP bajo la carga.
P = 14 kNa = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.
w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm
σcr = MPa
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: P = 76,45 kN
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²
Flexibilidades
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N
Carga
P = 0,5/6,54 × 10⁻⁶ = 76455 N = 76,45 kN
Respuesta
P = 76,45 kN
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 348,2 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 99,03 MPa
σ2 = 348,2 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 348,2 MPa
Respuesta
σmax = 348,2 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: φ = 0,4377 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·613592) = 0,007639 rad
φ = 0,007639·180/π = 0,4377°
Respuesta
φ = 0,4377°
4.Torsión de ejes
Respuesta: τmax = 55,58 MPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m
Momento polar de inercia
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
Tensión cortante máxima
τmax = T·(do/2)/J = 477465·20/171806 = 55,58 MPa
Respuesta
τmax = 55,58 MPa
5.Cortante y momento flector
Respuesta: MB = −52,5 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2,5 + 35·5,5
RB = 330/4 = 82,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 82,5 = 7,5 kN
Corta en B y quédate con el voladizo
Sobre el voladizo solo actúa P2, con brazo de palanca a. Flexiona la viga hacia arriba sobre el apoyo (momento negativo).
MB = −P2·a = −35·1,5 = −52,5 kN·m
Respuesta
MB = −52,5 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: MB = −2,25 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·9,5 = 19 kN, aplicada en x̄ = 4,75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·9,5·4,75
RB = 90,25/8 = 11,28 kN
ΣFy = 0: RA = 19 − 11,28 = 7,719 kN
Corta en B y quédate con el voladizo
La carga sobre el voladizo, w·a, actúa a a/2 de B y produce momento negativo sobre el apoyo.
MB = −w·a²/2 = −2·1,5²/2 = −2,25 kN·m
Respuesta
MB = −2,25 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 57,17 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 160·10 = 1600 mm², y1 = 5 mm
dos alas: A2 = 2·10·150 = 3000 mm², y2 = 10 + 150/2 = 85 mm
Centroide
ȳ = (1600·5 + 3000·85)/4600 = 57,17 mm
Respuesta
ȳ = 57,17 mm
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 29,47 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
alma: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·195 + 2520·90)/11520 = 172 mm
Teorema de Steiner
ala: 300·30³/12 + 9000·(195 − 172)² = 5,423 × 10⁶ mm⁴
alma: 14·180³/12 + 2520·(90 − 172)² = 2,376 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,423 × 10⁶ + 2,376 × 10⁷ = 2,918 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 172 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·172/2,918 × 10⁷ = 29,47 MPa
Respuesta
σinferior = 29,47 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τxy = 34,64 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio necesario
C = (120 + 10)/2 = 65 MPa
R = σ1 − C = 130 − 65 = 65 MPa
Tensión cortante
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 55²) = 34,64 MPa
Respuesta
τxy = 34,64 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σθ = 16,29 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
σθ = −35 + 25·0,766 + 50·0,6428 = 16,29 MPa
Respuesta
σθ = 16,29 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δP = 3,97 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 14000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²
Flecha bajo la carga
δP = Pa²b²/(3EIL) = 14000·1000²·7000²/(3·7,2 × 10¹²·8000) = 3,97 mm
Respuesta
δP = 3,97 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: Ireq = 12,56 × 10⁶ mm⁴
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Límite de flecha
δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm
Momento de inercia necesario
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·70000·6,944) = 1,256 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 12,56 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ireq = 12,56 × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 23,55 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,5·1500 = 750 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/750² = 23551 N = 23,55 kN
Respuesta
Pcr = 23,55 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: σcr = 12,34 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Radio de giro y esbeltez
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400
Tensión crítica
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa
Respuesta
σcr = 12,34 MPa
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