Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de bronce (diámetro 60 mm, longitud 300 mm, E = 110 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 60 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 1500 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 100 kW a 1000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 4 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 6 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 45 kN en 6 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 100 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 60 mm de ancho y 50 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 120 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 300 mmrecorte: 60 × 50 mmcentro del agujero: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 460 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).

σ_x = −60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 4,5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 4 kNa = 4,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla el valor del momento flector M_A en el empotramiento.

L = 3 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 1019 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/200000 = 0,001019 = 1019 µε

Respuesta

ε = 1019 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 15,83 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 60000·1,037 × 10⁶/1,39 × 10⁶ = 44746 N

Tensión

σ₂ = 44746/2827 = 15,83 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 15,83 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 52,69 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·60·0,8704)) = 52,69 mm

d_i = 0,6·52,69 = 31,61 mm

Respuesta

d_o = 52,69 mm

Un eje macizo necesitaría d = 50,31 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 65,9 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/362265 = 65,9 MPa

Respuesta

τ_max = 65,9 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 31,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 20,83, M_C = 36,67, M_D = 47,5, M_E = 53,33 kN·m, M_F = 29,17, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 53,33 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 139,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·6 + 12·8·4

R_B = 654/8 = 81,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 81,75 = 59,25 kN

Corta en x = 6 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 59,25·6 − 12·6·3 = 139,5 kN·m

Respuesta

M_x = 139,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 31,37 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

alma: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·215 + 3200·100)/6200 = 155,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·30³/12 + 3000·(215 − 155,6)² = 1,079 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·200³/12 + 3200·(100 − 155,6)² = 2,058 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,079 × 10⁷ + 2,058 × 10⁷ = 3,137 × 10⁷ mm⁴ = 31,37 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 31,37 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 221,4 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·150 − 3000·120)/(30000 − 3000) = 153,3 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·300³/12 + 30000·−3,333² = 225,3 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

60·50³/12 + 3000·−33,33² = 3,958 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 221,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 221,4 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −5,944 °

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 150 − −40) = −11,89°

Ángulo en el elemento

θ_p = −5,944°

Respuesta

θ_p = −5,944°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 4,533

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −10 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 48,31 MPa, σ₂ = −68,31 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(48,31² − 48,31·(−68,31) + (−68,31)²) = 101,5 MPa

n = 460/101,5 = 4,533

Respuesta

n = 4,533

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 3,691 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·4500²·3500²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 3,691 mm

Respuesta

δ_P = 3,691 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: M_A = 4,5 kN·m

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4,5 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 18 − 13,5 = 4,5 kN·m

Respuesta

M_A = 4,5 kN·m

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 151,4 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Respuesta

P_cr = 151,4 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 3,917 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/10 = 420

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/420² = 3,917 MPa

Respuesta

σ_cr = 3,917 MPa

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