Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 45 kNtramo 1: Ø35 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 75 kW a 1450 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M₀ = 10 kN·m en x = 3 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector M_x justo a la derecha del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mM₀ = 10 kN·m en sentido horario, en 3 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector M_B en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 9 mw = 5 kN/m de 0 a 9 mapoyos en x = 0 y x = 8 m

M_B = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 60 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 180 mm de ancho y 18 mm de espesor, un canto total de 360 mm y un alma de 12 mm de espesor. Soporta un momento flector de 50 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 180 mmH = 360 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 60° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 29 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 105 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 105 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 248,7 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/200000 = 0,0002487 = 248,7 µε

Respuesta

ε = 248,7 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,049 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 46,77 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 46,77·1500/70000 = 1,002 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1000/70000 = 2,046 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,049 mm

Respuesta

δ = 3,049 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 5,387 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(26000·613592) = 0,09402 rad

φ = 0,09402·180/π = 5,387°

Respuesta

φ = 5,387°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 6,383 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Momento polar de inercia

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 493929·37,5/2,902 × 10⁶ = 6,383 MPa

Respuesta

τ_max = 6,383 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 4 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/5 = 2 kN (hacia arriba)

R_A = −R_B = −2 kN (hacia abajo)

Corte justo a la derecha del par

La parte izquierda contiene ahora R_A y el par.

M_x = R_A·a + M₀ = −2·3 + 10 = 4 kN·m

Respuesta

M_x = 4 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_B = −2,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·9 = 45 kN, aplicada en x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9·4,5

R_B = 202,5/8 = 25,31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,31 = 19,69 kN

Corta en B y quédate con el voladizo

La carga sobre el voladizo, w·a, actúa a a/2 de B y produce momento negativo sobre el apoyo.

M_B = −w·a²/2 = −5·1²/2 = −2,5 kN·m

Respuesta

M_B = −2,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 76,56 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,561² = 56,32 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−16,56² = 1,412 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 36,21 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 360 − 2·18 = 324 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·360³ − 168·324³)/12

I_x = 2,237 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 180 − 18 = 162 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·162/2,237 × 10⁸ = 36,21 MPa

Respuesta

σ_j = 36,21 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −55,9 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 60 − 100) = −111,8°

Ángulo en el elemento

θ_p = −55,9°

Respuesta

θ_p = −55,9°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 23,97 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−45·0,866 + 30·−0,5 = 23,97 MPa

Respuesta

τ_θ = 23,97 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 4,335 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 4,335 mm

Respuesta

δ_max = 4,335 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 2,371 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 29000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·2500³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,311 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 1,06 mm

Súmalas

δ_max = 1,311 + 1,06 = 2,371 mm

Respuesta

δ_max = 2,371 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 900 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2100² = 899955 N = 900 kN

Respuesta

P_cr = 900 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 60,67 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 60,67 mm

Respuesta

d = 60,67 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 164,8, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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