Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 70 mm, E = 120 GPa). Ambos miden 500 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 100 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 100 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 95 kNtramo 1: Ø25 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 1,5 m, latón (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de latón está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 40 mm y una longitud de 0,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 20 mm y una longitud de 1 m. En el extremo libre C actúa un par de 100 N·m. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de acero de 25 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 1000 N·m en C, a 1,5 m de A y a 0,5 m de B. Halla el par de reacción T_A en el muro A.

d = 25 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,5 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Cortante y momento flectorMedia

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 1,5 m de A. Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 75 kN en 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

30 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 40 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa y τₓᵧ = −60 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 130 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un eje macizo de 60 mm de diámetro soporta una fuerza axial de tracción de 190 kN junto con un par de 500 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión principal mayor σ₁.

d = 60 mmF = 190 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 1,5 m del apoyo B. Halla la flecha máxima δ_max de la viga.

P = 20 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,08038 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 100000·500/6,22 × 10⁸ = 0,08038 mm

Respuesta

δ = 0,08038 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 472,5 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 472,5 MPa

Respuesta

σ_max = 472,5 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 63,66 MPa

Tensión en cada tramo

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·40³) = 7,958 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Respuesta

τ_max = 63,66 MPa

4.Torsión de ejes

Respuesta: T_A = 250 N·m

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da T_A + T_B = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).

Equilibrio y compatibilidad

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0,5/2 = 250 N·m

T_B = 1000·1,5/2 = 750 N·m

Respuesta

T_A = 250 N·m

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = −101,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Quédate con la parte del extremo libre

P: −75·0,5 = −37,5 kN·m

w: −8·4²/2 = −64 kN·m

M_x = −37,5 − 64 = −101,5 kN·m

Respuesta

M_x = −101,5 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

6.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 30 kN, R₂ = 60 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60 kN·m, M_D = 30, M_E = 0, M_F = −30, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 60 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 20,15 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

alma: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·195 + 1800·90)/7200 = 168,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 180·30³/12 + 5400·(195 − 168,8)² = 4,126 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·180³/12 + 1800·(90 − 168,8)² = 1,602 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,126 × 10⁶ + 1,602 × 10⁷ = 2,015 × 10⁷ mm⁴ = 20,15 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 20,15 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 39,39 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

alma: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·310 + 4800·150)/9200 = 226,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·20³/12 + 4400·(310 − 226,5)² = 3,081 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·300³/12 + 4800·(150 − 226,5)² = 6,411 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,081 × 10⁷ + 6,411 × 10⁷ = 9,492 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 320 − 226,5 = 93,48 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·93,48/9,492 × 10⁷ = 39,39 MPa

Respuesta

σ_superior = 39,39 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 83,54 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 100 MPa, R = √(30² + (−60)²) = 67,08 MPa

σ₁ = 167,1 MPa, σ₂ = 32,92 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134,2, 167,1, 32,92)/2 = 83,54 MPa

Respuesta

τ_abs = 83,54 MPa

Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ₁ = 69,21 MPa

Tensiones en la superficie

σ = F/A = 190000/(π·60²/4) = 190000/2827 = 67,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 33,6 MPa

R = √(33,6² + 11,79²) = 35,61 MPa

σ₁ = C + R = 69,21 MPa

σ₂ = C − R = −2,008 MPa

Respuesta

σ₁ = 69,21 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 2,255 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 2,255 mm

Respuesta

δ_max = 2,255 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 2,19 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Posición del máximo

Igualando a cero el giro en el tramo más largo se obtiene la posición.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Flecha máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2,19 mm

Respuesta

δ_max = 2,19 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 27,56 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Respuesta

P_cr = 27,56 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 7,896 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/20 = 500

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Respuesta

σ_cr = 7,896 MPa

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