Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de aluminio (diámetro 40 mm, longitud 200 mm, E = 70 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 75 kNtramo 1: Ø35 mm, 2 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 500 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de acero de 30 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 1 m de A, actúa un par de 200 N·m, y en el extremo libre C, 2 m más allá, actúa un par de 1500 N·m en sentido contrario. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 30 mmT_B = 200 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 3 kN/m de 0 a 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector M_B en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 7,5 mw = 6 kN/m de 0 a 7,5 mapoyos en x = 0 y x = 5 m

M_B = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 100 × 22 mm, un alma de 390 mm de alto y 8 mm de espesor, y un ala inferior de 270 × 24 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 100 × 22 mmalma: 8 × 390 mmala inferior: 270 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −40 MPa y σᵧ = 80 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 125 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1500 mm y un espesor de pared de 10 mm, contiene gas a una presión manométrica de 0,8 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 50° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σ_n que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 0,8 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 58,64 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/4,263 × 10⁻⁶ = 58643 N = 58,64 kN

Respuesta

P = 58,64 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,577 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 373 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,95·2000/200000 = 0,7795 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 373·1500/200000 = 2,798 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,577 mm

Respuesta

δ = 3,577 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 41,82 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·40·0,8704)) = 41,82 mm

d_i = 0,6·41,82 = 25,09 mm

Respuesta

d_o = 41,82 mm

Un eje macizo necesitaría d = 39,93 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 282,9 MPa

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 200 = 1300 N·m

Tensión cortante máxima

El tramo con el mayor par interno tiene la mayor tensión (mismo diámetro).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·30³) = 282,9 MPa

Respuesta

τ_max = 282,9 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 34,13 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 15·3,5 − 3·3,5·1,75 = 34,13 kN·m

Respuesta

M_x = 34,13 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_B = −18,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·7,5 = 45 kN, aplicada en x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·7,5·3,75

R_B = 168,8/5 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Corta en B y quédate con el voladizo

La carga sobre el voladizo, w·a, actúa a a/2 de B y produce momento negativo sobre el apoyo.

M_B = −w·a²/2 = −6·2,5²/2 = −18,75 kN·m

Respuesta

M_B = −18,75 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 53,66 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

alma: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·265 + 4680·130)/6880 = 173,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·10³/12 + 2200·(265 − 173,2)² = 1,857 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·260³/12 + 4680·(130 − 173,2)² = 3,509 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,857 × 10⁷ + 3,509 × 10⁷ = 5,366 × 10⁷ mm⁴ = 53,66 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 53,66 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 344,1 × 10⁶ mm⁴

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2200 mm², y = 425 mm

alma: A = 3120 mm², y = 219 mm

ala inferior: A = 6480 mm², y = 12 mm

Centroide

ȳ = (2200·425 + 3120·219 + 6480·12)/11800 = 143,7 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 100·22³/12 + 2200·281,3² = 1,741 × 10⁸ mm⁴

alma: 8·390³/12 + 3120·75,27² = 5,722 × 10⁷ mm⁴

ala inferior: 270·24³/12 + 6480·131,7² = 1,128 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,741 × 10⁸ + 5,722 × 10⁷ + 1,128 × 10⁸

I_x = 3,441 × 10⁸ mm⁴ = 344,1 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 344,1 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 86,17 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (−40 + 80)/2 = 20 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 20 = 105 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 60²) = 86,17 MPa

Respuesta

τ_xy = 86,17 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_n = 42,4 MPa

Tensiones en la pared

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0,8·750/10 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σ_n = 30·sin²50° + 60·cos²50° = 42,4 MPa

Respuesta

σ_n = 42,4 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,003922 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,003922 rad

Respuesta

θ_A = 0,003922 rad

Eso son 0,2247°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 93,27 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1000² = 93268 N = 93,27 kN

Respuesta

P_cr = 93,27 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 15,67 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/20 = 210

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Respuesta

σ_cr = 15,67 MPa

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