Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
P = ?12500 mm400 mmØ30Ø30δ = 0,3 mm

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 30 mm, longitud 400 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,3 mm en total.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Tensión y deformación axialDifícil
20 kN12600 mm200 mmØ20Ø60σ2​ = ?

Un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de cobre (diámetro 60 mm, longitud 200 mm, E = 120 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 20 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.Torsión de ejesMedia
T = 100 N·md = 25 mmL = 0,5 mφ = ?

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
d = ?30 kW, 1450 rpm

Un eje macizo de aluminio transmite 30 kW a 1450 rpm. La tensión cortante no debe superar 50 MPa y la torsión no debe superar 0,75° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 30 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0,75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 55 kNP2​ = 30 kNABC7 m1 m1,5 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 9,5 mP1 = 55 kN en 7 mP2 = 30 kN en 9,5 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
w = 3 kN/mABC8 m1,5 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector MB en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 9,5 mw = 3 kN/m de 0 a 9,5 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
MB = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
2001012018xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
1401014018xM = 20 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.

bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 140 mmM = 20 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = −40σy​ = 10τxy​ = 40MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = −40 MPaσy = 10 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = −70σy​ = 10τxy​ = −40MPa

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). El material tiene un límite elástico de 275 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σx = −70 MPaσy = 10 MPaτxy = −40 MPaσY = 275 MPa
n =
11.Flecha de la vigaMedia
P = 5 kNABδ3,5 m2,5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 3,5 m del apoyo A. Halla la flecha δP bajo la carga.

P = 5 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 4 kN/mABδ5 m

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 150 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo hreq de la sección.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 150 mm
hreq = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 6 m20 × 100 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 40 kNL = 1 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 40 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 40 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 34,56 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/8,681 × 10⁻⁶ = 34558 N = 34,56 kN

Respuesta

P = 34,56 kN
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ2 = 6,662 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 120000·2827/200 = 1,696 × 10⁶ N/mm

Parte del tramo 2

F2 = 20000·1,696 × 10⁶/1,801 × 10⁶ = 18837 N

Tensión

σ2 = 18837/2827 = 6,662 MPa (compresión)

Respuesta

σ2 = 6,662 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 2,873 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·38350) = 0,05015 rad
φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Respuesta

φ = 2,873°
4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 49,31 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diámetro por resistencia

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm
dτ = ∛(16·197572/(π·50)) = 27,2 mm

Diámetro por rigidez

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·197572/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 49,31 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(27,2, 49,31) = 49,31 mm

Respuesta

d = 49,31 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 8,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·8 = 55·7 + 30·9,5
RB = 670/8 = 83,75 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 83,75 = 1,25 kN

Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda

Mx = RA·7 = 1,25·7 = 8,75 kN·m

Respuesta

Mx = 8,75 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: MB = −3,375 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·9,5 = 28,5 kN, aplicada en x̄ = 4,75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·9,5·4,75
RB = 135,4/8 = 16,92 kN
ΣFy = 0: RA = 28,5 − 16,92 = 11,58 kN

Corta en B y quédate con el voladizo

La carga sobre el voladizo, w·a, actúa a a/2 de B y produce momento negativo sobre el apoyo.

MB = −w·a²/2 = −3·1,5²/2 = −3,375 kN·m

Respuesta

MB = −3,375 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 6,996 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
alma: Aw = 18·120 = 2160 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·125 + 2160·60)/4160 = 91,25 mm

Teorema de Steiner

ala: 200·10³/12 + 2000·(125 − 91,25)² = 2,295 × 10⁶ mm⁴
alma: 18·120³/12 + 2160·(60 − 91,25)² = 4,701 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,295 × 10⁶ + 4,701 × 10⁶ = 6,996 × 10⁶ mm⁴ = 6,996 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 6,996 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σinferior = 210,6 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 140·10 = 1400 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
alma: Aw = 18·140 = 2520 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1400·145 + 2520·70)/3920 = 96,79 mm

Teorema de Steiner

ala: 140·10³/12 + 1400·(145 − 96,79)² = 3,266 × 10⁶ mm⁴
alma: 18·140³/12 + 2520·(70 − 96,79)² = 5,924 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3,266 × 10⁶ + 5,924 × 10⁶ = 9,19 × 10⁶ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 96,79 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·96,79/9,19 × 10⁶ = 210,6 MPa

Respuesta

σinferior = 210,6 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 47,17 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((−40 − 10)/2)² + 40²) = 47,17 MPa

Respuesta

τmax = 47,17 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 2,431

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σY; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tensiones principales

C = −30 MPa, R = 56,57 MPa
σ1 = 26,57 MPa, σ2 = −86,57 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 113,1 MPa
n = 275/113,1 = 2,431

Respuesta

n = 2,431

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δP = 8,861 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 5000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·3500²·2500²/(3·2,4 × 10¹²·6000) = 8,861 mm

Respuesta

δP = 8,861 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: hreq = 257,4 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,131 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,131 × 10⁸/150)1/3 = 257,4 mm

Respuesta

hreq = 257,4 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 2,611 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/4200² = 2611 N = 2,611 kN

Respuesta

Pcr = 2,611 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 26,67 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N
KL = 0,7·1000 = 700 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 26,67 mm

Respuesta

d = 26,67 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 105, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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