Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 25 mmLatón0,5 mP = 60 kN

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 60 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 40 mmCobre2 mØ 12 mmLatón1 mP = 80 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.

P = 80 kNtramo 1: Ø40 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
T = 250 N·md = 30 mmL = 1,2 mφ = ?

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Td = ?

Un eje macizo debe transmitir 75 kW a 750 rpm sin que la tensión cortante supere 75 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
60 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 6 m10 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Cortante y momento flectorDifícil
w = 2 kN/mP = 35 kNABsección4 m4 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 35 kN en 4 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
2201522010xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
150 mm300 mm210 mm50 × 40xIx​ = ?

Una placa de 150 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 50 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 210 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 50 × 40 mmcentro del agujero: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 100σy​ = 50τxy​ = −20MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 100 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = 60σy​ = 100τxy​ = 30MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido horario respecto al eje x.

σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
P = 14 kNABδ3 m2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 3 m del apoyo A. Halla la flecha δP bajo la carga.

P = 14 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
P = 80 kNAB3 m3 m

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla la reacción RB en el apoyo B.

L = 6 mP = 80 kN en 3 m
RB = kN
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 3 md = 60 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 3 md = 50 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,6112 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 122,2/100000 = 0,001222 = 1222 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,001222·500 mm = 0,6112 mm

Respuesta

δ = 0,6112 mm
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σmax = 707,4 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 63,66 MPa
σ2 = 707,4 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σmax = 707,4 MPa

Respuesta

σmax = 707,4 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 5,542 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·79522) = 0,09673 rad
φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Respuesta

φ = 5,542°
4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 40,18 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Respuesta

d = 40,18 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 33,33 kN, R2 = 36,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 66,67, MC = 133,3, MD = 200 kN·m, ME = 146,7, MF = 73,33, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 200 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 86 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·4 + 2·8·4
RB = 204/8 = 25,5 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 25,5 = 25,5 kN
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = 25,5RB​ = 25,5sección4 m4 m

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 25,5·4 − 2·4·2 = 86 kN·m

Respuesta

Mx = 86 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 27,16 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 220 + 15/2 = 227,5 mm
alma: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·227,5 + 2200·110)/5500 = 180,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·15³/12 + 3300·(227,5 − 180,5)² = 7,352 × 10⁶ mm⁴
alma: 10·220³/12 + 2200·(110 − 180,5)² = 1,981 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,352 × 10⁶ + 1,981 × 10⁷ = 2,716 × 10⁷ mm⁴ = 27,16 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 27,16 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 329,7 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 2000·210)/(45000 − 2000) = 147,2 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·300³/12 + 45000·2,791² = 337,9 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

50·40³/12 + 2000·62,79² = 8,152 × 10⁶ mm⁴

Resta

Ix = 329,7 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 329,7 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 32,02 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((100 − 50)/2)² + −20²) = 32,02 MPa

Respuesta

τmax = 32,02 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σθ = 44,02 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación

σθ = 80 + −20·0,5 + 30·−0,866 = 44,02 MPa

Respuesta

σθ = 44,02 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δP = 19,76 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 14000·3000²·2000²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 19,76 mm

Respuesta

δP = 19,76 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: RB = 25 kN

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Respuesta

RB = 25 kN
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 34,88 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Respuesta

Pcr = 34,88 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 137,1 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/12,5 = 120

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Respuesta

σcr = 137,1 MPa

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