Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de cobre, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 50 kNtramo 1: Ø35 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero de 3 m de longitud transmite un par de 750 N·m. El ángulo de torsión entre sus extremos no debe superar 1,5°. Halla el diámetro mínimo d que cumple este límite.

T = 750 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón transmite 10 kW a 500 rpm. La tensión cortante no debe superar 60 MPa y la torsión no debe superar 0,25° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 10 mP₁ = 70 kN en 1 mP₂ = 45 kN en 8 m

M_max = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 8 mw = 12 kN/m de 0 a 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 260 mm de ancho con dos alas verticales de 160 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 8 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b = 260 mmh = 160 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 120 mm de ancho y 14 mm de espesor, un canto total de 320 mm y un alma de 14 mm de espesor. Soporta un momento flector de 80 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 120 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 14 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 2585 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 95·1000/314,2 = 302,4 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 302,4/117000 = 0,002585 = 2585 µε

Respuesta

ε = 2585 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 5,263 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,97·2000/70000 = 1,485 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·1000/117000 = 3,779 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,263 mm

Respuesta

δ = 5,263 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: d = 57,51 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar necesario

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·3000/(80000·0,02618) = 1,074 × 10⁶ mm⁴

Diámetro

d = (32J/π)^1/4 = 57,51 mm

Respuesta

d = 57,51 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 58,15 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diámetro por resistencia

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Diámetro por rigidez

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58,15 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(25,31, 58,15) = 58,15 mm

Respuesta

d = 58,15 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 86 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 70·1 + 45·8

R_B = 430/10 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 43 = 72 kN

Momento bajo cada carga

Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.

bajo P₁: M = R_A·1 = 72·1 = 72 kN·m

bajo P₂: M = R_B·2 = 43·2 = 86 kN·m

Valor máximo

M_max = 86 kN·m (bajo P₂)

Respuesta

M_max = 86 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 84,38 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·6·3

R_B = 216/8 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 27 = 45 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en R_A, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 45/12 = 3,75 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 45·3,75 − 12·3,75²/2 = 84,38 kN·m

Respuesta

M_max = 84,38 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 11,87 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 260·8 = 2080 mm², y₁ = 4 mm

dos alas: A₂ = 2·8·152 = 2432 mm², y₂ = 8 + 152/2 = 84 mm

Centroide

ȳ = (2080·4 + 2432·84)/4512 = 47,12 mm

Teorema de Steiner

base: 260·8³/12 + 2080·(4 − 47,12)² = 3,879 × 10⁶ mm⁴

dos alas: 2·8·152³/12 + 2432·(84 − 47,12)² = 7,99 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,879 × 10⁶ + 7,99 × 10⁶

I_x = 1,187 × 10⁷ mm⁴ = 11,87 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 11,87 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 108,4 MPa

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·320³ − 106·292³)/12

I_x = 1,078 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 160 − 14 = 146 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·146/1,078 × 10⁸ = 108,4 MPa

Respuesta

σ_j = 108,4 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −69,18 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −30 − 60) = −138,4°

Ángulo en el elemento

θ_p = −69,18°

Respuesta

θ_p = −69,18°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 55 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −55·−1 + 30·0 = 55 MPa

Respuesta

τ_θ = 55 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 26,63 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 26,63 mm

Respuesta

δ_max = 26,63 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,698 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·3000³/(48·5,88 × 10¹²) = 1,339 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 0,3587 mm

Súmalas

δ_max = 1,339 + 0,3587 = 1,698 mm

Respuesta

δ_max = 1,698 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 17,3 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Respuesta

P_cr = 17,3 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 12,34 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Respuesta

σ_cr = 12,34 MPa

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