Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 110 kNtramo 1: Ø40 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 60 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 0,5 m de A, actúa un par de 100 N·m, y en el extremo libre C, 1,5 m más allá, actúa un par de 1500 N·m en el mismo sentido. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 7 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 55 kN en 7 mw = 12 kN/m de 0 a 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 220 mm, una altura exterior H = 250 mm y un espesor de pared uniforme t = 10 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

B = 220 mmH = 250 mmt = 10 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 120 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 80 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 156 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 240 mmrecorte: 80 × 40 mmcentro del agujero: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = −30 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Halla la tensión equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 2,5 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 4 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 200 GPa (acero)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 1 m del apoyo B. Halla la flecha máxima δ_max de la viga.

P = 28 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 707,4 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/200000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Respuesta

ε = 707,4 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 8,472 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1500/200000 = 0,6565 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·1000/70000 = 7,816 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,472 mm

Respuesta

δ = 8,472 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 10,96 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·251327) = 0,1913 rad

φ = 0,1913·180/π = 10,96°

Respuesta

φ = 10,96°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 37,73 MPa

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 100 = 1600 N·m

Tensión cortante máxima

El tramo con el mayor par interno tiene la mayor tensión (mismo diámetro).

|T|_max = 1600 N·m

τ_max = 16·1,6 × 10⁶/(π·60³) = 37,73 MPa

Respuesta

τ_max = 37,73 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 22 kN, R₂ = 22 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 36, M_D = 48 kN·m, M_E = 36, M_F = 20, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 48 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 241,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·7 + 12·10·5

R_B = 985/10 = 98,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 175 − 98,5 = 76,5 kN

Corta en x = 7 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 76,5·7 − 12·7·3,5 = 241,5 kN·m

Respuesta

M_x = 241,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 96,42 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

b = 200 mm, h = 230 mm

A = BH − bh = 220·250 − 200·230 = 9000 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 8,367 × 10⁷ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(8,367 × 10⁷/9000) = 96,42 mm

Respuesta

r = 96,42 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (28800·120 − 3200·156)/(28800 − 3200) = 115,5 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·240³/12 + 28800·4,5² = 138,8 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

80·40³/12 + 3200·40,5² = 5,675 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 47,71 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 65 MPa, R = √(5² + (−30)²) = 30,41 MPa

σ₁ = 95,41 MPa, σ₂ = 34,59 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60,83, 95,41, 34,59)/2 = 47,71 MPa

Respuesta

τ_abs = 47,71 MPa

Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_vM = 106,8 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 60 MPa, R = 50,99 MPa

σ₁ = 111 MPa, σ₂ = 9,01 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(111² − 111·9,01 + 9,01²) = 106,8 MPa

Respuesta

σ_vM = 106,8 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 2,376 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,827 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001096 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,376 mm

Respuesta

δ_B = 2,376 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 5,535 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Posición del máximo

Igualando a cero el giro en el tramo más largo se obtiene la posición.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Flecha máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,535 mm

Respuesta

δ_max = 5,535 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 9,646 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Respuesta

P_cr = 9,646 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 4,318 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Respuesta

σ_cr = 4,318 MPa

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