Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 50 mm, E = 100 GPa). Ambos miden 600 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 250 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 250 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) y un tramo de latón (diámetro 50 mm, longitud 300 mm, E = 100 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 30 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 15 mm de diámetro se tuerce con un par de 100 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 400 mm giran 5,76° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 100 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 5,76°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 10 kW a 3000 rpm sin que la tensión cortante supere 40 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 10 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M₀ = 40 kN·m en x = 2 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector M_x justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mM₀ = 40 kN·m en sentido horario, en 2 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo M_max entre los apoyos.

L = 7,5 mw = 5 kN/m de 0 a 7,5 mapoyos en x = 0 y x = 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 30 MPa a tracción y 90 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo M_allow que puede soportar la viga.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −30 MPa y τₓᵧ = 10 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 100 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 35° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales iguales P en sus tercios de la luz (a L/3 de cada apoyo). Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 7 kNL = 5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 105 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 105 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,1394 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·9346 = 1,076 × 10⁹ N

Acortamiento

δ = 250000·600/1,076 × 10⁹ = 0,1394 mm

Respuesta

δ = 0,1394 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 11,75 MPa

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 30000·654498/850848 = 23077 N

Tensión

σ₂ = 23077/1963 = 11,75 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 11,75 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 80,06 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5,76·π/180 = 0,1005 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(4970·0,1005) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Respuesta

G = 80,06 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 15,94 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·40)) = 15,94 mm

Respuesta

d = 15,94 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = −16 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/5 = 8 kN (hacia arriba)

R_A = −R_B = −8 kN (hacia abajo)

Corte justo a la izquierda del par

La parte izquierda solo contiene R_A.

M_x = R_A·a = −8·2 = −16 kN·m

Respuesta

M_x = −16 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 8,789 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN, aplicada en x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7,5·3,75

R_B = 140,6/5 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37,5 − 28,13 = 9,375 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,375/5 = 1,875 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,375²/(2·5) = 8,789 kN·m

Respuesta

M_max = 8,789 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 88,88 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

alma: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·287,5 + 5600·140)/9800 = 203,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·15³/12 + 4200·(287,5 − 203,2)² = 2,992 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·280³/12 + 5600·(140 − 203,2)² = 5,896 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,992 × 10⁷ + 5,896 × 10⁷ = 8,888 × 10⁷ mm⁴ = 88,88 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 88,88 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 4,708 kN·m

Centroide

ȳ = (1200·185 + 3600·90)/4800 = 113,8 mm

borde superior: c = 190 − 113,8 = 76,25 mm

Momento de inercia

I = 120·10³/12 + 1200·71,25² + 20·180³/12 + 3600·23,75² = 1,785 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 90·1,785 × 10⁷/76,25 = 21,07 kN·m

borde inferior: M = 30·1,785 × 10⁷/113,8 = 4,708 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 4,708 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 4,708 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 65,76 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 35 MPa, R = √(65² + 10²) = 65,76 MPa

σ₁ = 100,8 MPa, σ₂ = −30,76 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(131,5, 100,8, 30,76)/2 = 65,76 MPa

Respuesta

τ_abs = 65,76 MPa

Aquí σ₁ y σ₂ tienen signos opuestos, así que el máximo en el plano R es también el máximo absoluto.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 29,05 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−20·0,9397 + 30·0,342 = 29,05 MPa

Respuesta

τ_θ = 29,05 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,156 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,156 mm

Respuesta

δ_max = 1,156 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 12,32 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Una carga en L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 6,162 mm

Suma ambas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 12,32 mm

Respuesta

δ_max = 12,32 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 181,3 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1400² = 181278 N = 181,3 kN

Respuesta

P_cr = 181,3 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 87,29 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 87,29 mm

Respuesta

d = 87,29 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 114,6, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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