Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 25 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 50 kNtramo 1: Ø25 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 20 mm de diámetro se tuerce con un par de 75 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 200 mm giran 0,68° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 75 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,68°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de acero de 40 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 1000 N·m en C, a 0,8 m de A y a 1,2 m de B. Halla el ángulo de giro φ_C de la sección C, en grados.

d = 40 mmT₀ = 1000 N·ma = 0,8 mb = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 3 m12 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 0 m60 kN @ 6 m15 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 50 mm en su línea central vertical, con su centro a 105 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmcentro del agujero: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 35 MPa a tracción y 150 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo M_allow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 800 mm y un espesor de pared de 10 mm, contiene gas a una presión manométrica de 0,8 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 25° del eje del cilindro. Halla el valor de la tensión cortante |τ_n| que actúa a lo largo de la costura de soldadura.

D = 800 mmt = 10 mmp = 0,8 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla el valor del momento flector M_A en el empotramiento.

L = 8 mP = 70 kN en 4 m

M_A = kN·m

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,21 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 221/100000 = 0,00221 = 2210 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,00221·1000 mm = 2,21 mm

Respuesta

δ = 2,21 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 248,7 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 248,7 MPa

Respuesta

σ_max = 248,7 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 80,46 GPa

Momento polar y ángulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,68·π/180 = 0,01187 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(15708·0,01187) = 80461 MPa

G = 80,46 GPa

Respuesta

G = 80,46 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 1,368 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da T_A + T_B = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).

Equilibrio y compatibilidad

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,2/2 = 600 N·m

T_B = 1000·0,8/2 = 400 N·m

Giro de C

Usa el tramo AC: está empotrado en A y transmite T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 600000·800/(80000·251327) = 0,02387 rad = 1,368°

Respuesta

φ_C = 1,368°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 28,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = 45, M_D = 61,5 kN·m, M_E = 51, M_F = 28,5, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 61,5 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 15,83 kN, R₂ = 114,2 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −41,67, M_D = −73,33, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −120 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 265,5 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 1963·105)/(36000 − 1963) = 152,6 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·300³/12 + 36000·−2,596² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−47,6² = 4,755 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 265,5 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 265,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 4,811 kN·m

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (2500·112,5 + 1400·50)/3900 = 90,06 mm

borde superior: c = 125 − 90,06 = 34,94 mm

Momento de inercia

I = 100·25³/12 + 2500·22,44² + 14·100³/12 + 1400·40,06² = 4,802 × 10⁶ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento negativo: la parte superior está traccionada y la inferior comprimida.

borde superior: M = 35·4,802 × 10⁶/34,94 = 4,811 kN·m

borde inferior: M = 150·4,802 × 10⁶/90,06 = 7,998 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 4,811 kN·m (borde superior)

Respuesta

M_allow = 4,811 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = 31,72 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 100 − 50) = 63,43°

Ángulo en el elemento

θ_p = 31,72°

Respuesta

θ_p = 31,72°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: |τ_n| = 6,128 MPa

Tensiones en la pared

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0,8·400/10 = 32 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

|τ_n| = (32 − 16)·sin 25°·cos 25° = 6,128 MPa

Respuesta

|τ_n| = 6,128 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 29,41 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 29,41 mm

Respuesta

δ_max = 29,41 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: M_A = 105 kN·m

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·70/16 = 21,88 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 280 − 175 = 105 kN·m

Respuesta

M_A = 105 kN·m

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 12,02 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4200² = 12016 N = 12,02 kN

Respuesta

P_cr = 12,02 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 21,93 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Respuesta

σ_cr = 21,93 MPa

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