Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 25 mmLatón2,5 mP = 20 kN

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 20 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 30 mmAluminio2 mØ 20 mmAcero2 mP = 75 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.

P = 75 kNtramo 1: Ø30 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 2 m, acero (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Tdo​ = 100 mm, di​ = 80 mm

Un eje hueco transmite 15 kW a 300 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.

P = 15 kWN = 300 rpmdo = 100 mmdi = 80 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
M0​ = 50 kN·mAB6 m2 m

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 50 kN·m en x = 6 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la derecha del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mM0 = 50 kN·m en sentido horario, en 6 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
15 kN/m60 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 12 m60 kN @ 2 m15 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
150 mm150 mm105 mmØ60xIx​ = ?

Una placa de 150 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 105 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
180380206xM = 50 kN·mcotas en mm

Una sección en I simétrica tiene alas de 180 mm de ancho y 20 mm de espesor, un canto total de 380 mm y un alma de 6 mm de espesor. Soporta un momento flector de 50 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σmax en la sección.

B = 180 mmH = 380 mmtf = 20 mmtw = 6 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 120σy​ = 100τxy​ = −40MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 120 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
20°D = 800 mm, t = 8 mm, p = 0,8 MPap

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 800 mm y un espesor de pared de 8 mm, contiene gas a una presión manométrica de 0,8 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 20° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σn que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 800 mmt = 8 mmp = 0,8 MPaα = 20°
σn = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 10 kN/mδL = 3 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 6 kN/mP = 11 kNδL = 8 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.

P = 11 kNw = 6 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 1,5 md = 20 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 4 md = 40 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 1,019 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/100000 = 0,0004074 = 407,4 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,0004074·2500 mm = 1,019 mm

Respuesta

δ = 1,019 mm
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σmax = 238,7 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 106,1 MPa
σ2 = 238,7 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σmax = 238,7 MPa

Respuesta

σmax = 238,7 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 2,338 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·251327) = 0,04081 rad
φ = 0,04081·180/π = 2,338°

Respuesta

φ = 2,338°
4.Torsión de ejes

Respuesta: τmax = 4,119 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Momento polar de inercia

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τmax = T·(do/2)/J = 477465·50/5,796 × 10⁶ = 4,119 MPa

Respuesta

τmax = 4,119 MPa
5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 12,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 50/8 = 6,25 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −6,25 kN (hacia abajo)

Corte justo a la derecha del par

La parte izquierda contiene ahora RA y el par.

Mx = RA·a + M0 = −6,25·6 + 50 = 12,5 kN·m

Respuesta

Mx = 12,5 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 75 kN, R2 = 165 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 120, MC = 60, MD = −60, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

Respuesta

Marca E: ME = −240 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 38,64 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 2827·105)/(22500 − 2827) = 70,69 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·150³/12 + 22500·4,312² = 42,61 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,31² = 3,965 × 10⁶ mm⁴

Resta

Ix = 38,64 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 38,64 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σmax = 37,52 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.

hw = 380 − 2·20 = 340 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·380³ − 174·340³)/12
Ix = 2,532 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 190 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·190/2,532 × 10⁸ = 37,52 MPa

Respuesta

σmax = 37,52 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 41,23 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

σxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((120 − 100)/2)² + −40²) = 41,23 MPa

Respuesta

τmax = 41,23 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σn = 37,66 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Cilindro de pared delgada: tensión circunferencial σh = pr/t y tensión axial σa = pr/(2t); son las tensiones principales en la pared.

Tensiones en la pared

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0,8·400/8 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σa) e y en dirección circunferencial (σh). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σn = 20·sin²20° + 40·cos²20° = 37,66 MPa

Respuesta

σn = 37,66 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 9,04 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 9,04 mm

Respuesta

δ = 9,04 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 74,38 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 11000 N, w = 6 N/mm, L = 8000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(48EI) = 11000·8000³/(48·5,88 × 10¹²) = 19,95 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 54,42 mm

Súmalas

δmax = 19,95 + 54,42 = 74,38 mm

Respuesta

δmax = 74,38 mm
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 4,922 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1050² = 4922 N = 4,922 kN

Respuesta

Pcr = 4,922 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 17,27 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Respuesta

σcr = 17,27 MPa

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