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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el ángulo θ entre los vectores a = (−2, −5, −1) y b = (−6, 3, 1), en grados.
a = (−2, −5, −1)b = (−6, 3, 1)
θ = °
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
El vector unitario n̂ es perpendicular a a = (−5, −2, −3) y a b = (−2, 2, 1) y tiene componente z positiva. Halla su componente x n̂x.
a = (−5, −2, −3)b = (−2, 2, 1)n̂z > 0
n̂x =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 5 mP1 = 30 kN en 1 mP2 = 45 kN en 1,5 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 6 m de A, inclinada 60° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 1 m de A. Halla el ángulo α entre la reacción total en la articulación A y la horizontal.
L = 8 mP = 20 kN en 6 m, θ = 60°Q = 50 kN en 1 m
α = °
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 4 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 60 kN
FAB = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 6 maltura = 3 mB está a 4 m de Acarga vertical = 10 kNcarga horizontal = 5 kN →
FAC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
La palanca acodada mostrada gira alrededor del pasador O. Una fuerza vertical de 100 N en A (a 150 mm de O) se equilibra con una fuerza horizontal en B (a 120 mm por encima de O). Halla el valor de la reacción FO en el pasador.
F = 100 NOA = 150 mmOB = 120 mm
FO = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
La viga AB de la ménsula de pared mostrada está articulada en A y apuntalada por el puntal CD (C está 1,2 m por debajo de A). La viga soporta una carga uniforme de 3 kN/m en toda su longitud y una carga puntual de 8 kN en su extremo libre B. Halla la fuerza FCD en el puntal.
w = 3 kN/mP = 8 kNAD = 1,5 mAB = 2,5 mAC = 1,2 m
FCD = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mP1 = 60 kN en 5 mP2 = 25 kN en 10 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
45 kN @ 0 m10 kN @ 12 m15 kN/m, 2–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 100 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 50 mm en su línea central vertical, con su centro a 52,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mmcentro del agujero: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una placa de 150 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 30 mm de ancho y 50 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 120 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 30 × 50 mmcentro del agujero: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Disoluciones
1.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: θ = 96,18 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = (−2)·(−6) + (−5)·3 + (−1)·1 = −4
Módulos
|a| = √((−2)² + (−5)² + (−1)²) = 5,477
|b| = √((−6)² + 3² + 1²) = 6,782
Ángulo
cos θ = −4/(5,477·6,782) = −0,1077
θ = arccos(−0,1077) = 96,18°
Respuesta
θ = 96,18°
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: n̂x = −0,2192
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·1 − (−3)·2 = 4
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−2) − (−5)·1 = 11
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·2 − (−2)·(−2) = −14
Normalizar
La componente z de a × b es negativa, así que usa −(a × b).
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1 + 45·1,5
RB = 97,5/5 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 19,5 = 55,5 kN
Respuesta
RB = 19,5 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: α = 78,25 °
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Componentes de P
Pv = 20·sin 60° = 17,32 kN
Ph = 20·cos 60° = 10 kN
Reacciones
ΣMA = 0: RB·8 = 17,32·6 + 50·1 → RB = 19,24 kN
Ay = 17,32 + 50 − 19,24 = 48,08 kN
Ax = Ph = 10 kN
Dirección en A
α = atan(Ay/Ax) = atan(48,08/10) = 78,25°
Respuesta
α = 78,25°
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAB = −18,75 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN
Nudo A
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0,8 = −18,75 kN
Respuesta
FAB = −18,75 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAC = 6,111 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·4 + 5·3 → Cy = 9,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 9,167 = 0,8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Fuerza en B
Q = 100·150/120 = 125 N
Reacción en el pasador
Ox = 125 N, Oy = 100 N
FO = √(125² + 100²) = 160,1 N
Respuesta
FO = 160,1 N
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: FCD = 31,35 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Resultante de la carga uniforme
w·L = 3·2,5 = 7,5 kN en 1,25 m
Momentos respecto a A para la viga
FCD·0,6247·1,5 = 7,5·1,25 + 8·2,5 = 29,38 kN·m
FCD = 31,35 kN
Respuesta
FCD = 31,35 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 81,25 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.
ΣMA = 0: RB·8 = 60·5 + 25·10
RB = 550/8 = 68,75 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 68,75 = 16,25 kN
Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda
Mx = RA·5 = 16,25·5 = 81,25 kN·m
Respuesta
Mx = 81,25 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: B (x = 2 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 98,33 kN, R2 = 46,67 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = −90 kN·m, MC = −13,33, MD = 3,333, ME = −40, MF = −20, MG = 0
Respuesta
Marca B: MB = −90 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (15000·75 − 1963·52,5)/(15000 − 1963) = 78,39 mm
Placa completa respecto a ȳ
100·150³/12 + 15000·−3,389² = 28,3 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−25,89² = 1,623 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 335,8 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (45000·150 − 1500·120)/(45000 − 1500) = 151 mm