Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|

Método

  1. Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
  2. Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
  3. Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga

Método

  1. Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
  2. Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
  3. Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
  4. Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
xyzab

Halla el valor de k para el que los vectores a = (−4, 1, 6) y b = (1, k, −1) son perpendiculares.

a = (−4, 1, 6)b = (1, k, −1)
k =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
xyzrFOA

Una fuerza F = (20, 30, 0) N actúa en el punto A(−1, −3, −3). Las coordenadas están en metros. Halla la componente y My del momento de la fuerza respecto a el origen O(0, 0, 0).

F = (20, 30, 0) NA(−1, −3, −3) mO(0, 0, 0) m
My = N·m
3.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​2,5 m2,5 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.

L = 6 mP1 = 30 kN en 2,5 mP2 = 25 kN en 5 m
RA = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.

L = 5 mP = 40 kN en 1 mw = 6 kN/m de 2 a 4 m
RB = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH20 kN4 × 3 m3 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

H: 20 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB55 kN25 kN4 m1 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 55 kNcarga horizontal = 25 kN ←
FAC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
5 kN6 m1,2 m2,4 m1,8 mABCDEK

El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 6 m, con su pasador del vértice C a 3,6 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,2 m sobre el suelo. Una carga vertical de 5 kN actúa sobre la pata AC en K, a 1,8 m (en horizontal) de A. Halla la tensión T en el tirante.

P = 5 kNAB = 6 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 1,2 mdistancia horizontal de A a K = 1,8 m
T = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
8 kN1 kN5 m2,5 mABC

Una pluma horizontal uniforme AB de peso 1 kN está articulada a una pared en A y sujeta por un cable desde su extremo B hasta el punto C de la pared, 2,5 m por encima de A. En B cuelga una carga de 8 kN. Halla la tensión T en el cable.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 5 mAC = 2,5 m
T = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 35 kNP2​ = 10 kNABC3 m2 m1,5 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector MB en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6,5 mP1 = 35 kN en 3 mP2 = 10 kN en 6,5 mapoyos en x = 0 y x = 5 m
MB = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
6 kN/m60 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 12 m55 kN @ 8 m6 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
2802014016xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
2201016020xM = 50 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 50 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.

bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 160 mmM = 50 kN·m
σinferior = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: k = 10

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

El producto escalar es igual a cero

a·b = (−4)·1 + 1·k + 6·(−1) = 0
−10 + 1·k = 0

Despeja k

k = −(−10)/1 = 10

Respuesta

k = 10
2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: My = −60 N·m

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vector de posición de O a A

r = A − O = (−1, −3, −3) − (0, 0, 0) = (−1, −3, −3) m

Momento M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = (−3)·0 − (−3)·30 = 90 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = (−3)·20 − (−1)·0 = −60 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = (−1)·30 − (−3)·20 = 30 N·m

Componente pedida

My = −60 N·m

Respuesta

My = −60 N·m
3.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 21,67 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​2,5 m2,5 m1 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·2,5 + 25·5
RB = 200/6 = 33,33 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 33,33 = 21,67 kN

Respuesta

RA = 21,67 kN
4.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 15,2 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​1 m1 m2 m1 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, aplicada en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·1 + 6·2·3
RB = 76/5 = 15,2 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 15,2 = 36,8 kN

Respuesta

RB = 15,2 kN
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 5 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 5 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 7,071 kN (C), HE: 21,21 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (C), BG: 7,071 kN (C), DG: 7,071 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 1,875 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB55 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 − 25·2 → Cy = 1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 1,25 = 53,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,25/0,5547 = −2,253 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−2,253)·0,8321 = 1,875 kN

Respuesta

FAC = 1,875 kN (tracción)
7.Bastidores y máquinas

Respuesta: T = 1,875 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Todo el bastidor: momentos respecto a A

By = 5·1,8/6 = 1,5 kN

Pata BC: momentos respecto a C

1,5·3 = T·2,4
T = 1,875 kN

Respuesta

T = 1,875 kN
8.Bastidores y máquinas

Respuesta: T = 19,01 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Ángulo del cable

BC = √(5² + 2,5²) = 5,59 m, sin β = 0,4472

Momentos respecto a A

T·0,4472·5 = 8·5 + 1·2,5
T = 19,01 kN

Respuesta

T = 19,01 kN
9.Cortante y momento flector

Respuesta: MB = −15 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·5 = 35·3 + 10·6,5
RB = 170/5 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 34 = 11 kN

Corta en B y quédate con el voladizo

Sobre el voladizo solo actúa P2, con brazo de palanca a. Flexiona la viga hacia arriba sobre el apoyo (momento negativo).

MB = −P2·a = −10·1,5 = −15 kN·m

Respuesta

MB = −15 kN·m
10.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 10 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 29 kN, R2 = 146 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 46, MC = 68, MD = 66, ME = 40, MF = −120 kN·m, MG = 0

Respuesta

Marca F: MF = −120 kN·m
11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 14,09 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
alma: Aw = 16·140 = 2240 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·150 + 2240·70)/7840 = 127,1 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·20³/12 + 5600·(150 − 127,1)² = 3,112 × 10⁶ mm⁴
alma: 16·140³/12 + 2240·(70 − 127,1)² = 1,097 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,112 × 10⁶ + 1,097 × 10⁷ = 1,409 × 10⁷ mm⁴ = 14,09 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 14,09 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σinferior = 352,4 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
alma: Aw = 20·160 = 3200 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·165 + 3200·80)/5400 = 114,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·10³/12 + 2200·(165 − 114,6)² = 5,6 × 10⁶ mm⁴
alma: 20·160³/12 + 3200·(80 − 114,6)² = 1,066 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,6 × 10⁶ + 1,066 × 10⁷ = 1,626 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 114,6 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·114,6/1,626 × 10⁷ = 352,4 MPa

Respuesta

σinferior = 352,4 MPa

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