En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.
1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Una fuerza constante F = (0, −5, 5) N actúa sobre un objeto mientras este se mueve en línea recta del punto A(−1, −4, −5) al punto B(−2, 5, −1). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza.
F = (0, −5, 5) NA(−1, −4, −5) mB(−2, 5, −1) m
W = J
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (0, −5, −4), b = (4, 3, 2) y c = (−3, −5, −5).
a = (0, −5, −4)b = (4, 3, 2)c = (−3, −5, −5)
V =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 12 kN/m en A hasta cero en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 4 mw0 = 12 kN/m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 4,5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 2 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 4 m hasta el extremo libre en 6 m. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.
AB = 4,5 mAC = 6 mP = 70 kN en 2 mw = 2 kN/m de 4 a 6 m
RB = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
D: 35 kN ↓G: 20 kN ↓
1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro BG
13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 6 maltura = 2 mB está a 4 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 25 kN ←
FBC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 3 m, y B está a 2,5 m sobre el suelo y a 0,45 m a la derecha de A. Una carga vertical de 5 kN actúa sobre el elemento AB en K, a 0,1125 m (en horizontal) de A. Halla la fuerza FBC en el elemento BC.
P = 5 kNL = 3 mH = 2,5 mdistancia horizontal de A a B = 0,45 mdistancia horizontal de A a K = 0,1125 m
FBC = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 3 m, con su pasador del vértice C a 2 m de altura y el tirante horizontal DE a 0,6 m sobre el suelo. Una carga vertical de 4 kN actúa sobre la pata AC en K, a 1,125 m (en horizontal) de A. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.
P = 4 kNAB = 3 maltura de C = 2 maltura de DE = 0,6 mdistancia horizontal de A a K = 1,125 m
C = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
25 kN @ 8 m50 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
40 kN @ 0 m10 kN @ 12 m30 kN @ 6 m4 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en I simétrica tiene alas de 220 mm de ancho y 22 mm de espesor, un canto total de 480 mm y un alma de 8 mm de espesor. Halla su momento de inercia Ix respecto al eje centroidal horizontal x.
B = 220 mmH = 480 mmtf = 22 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 50 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Desplazamiento
d = B − A = (−2, 5, −1) − (−1, −4, −5) = (−1, 9, 4) m
Trabajo
W = F·d = 0·(−1) + (−5)·9 + 5·4 = −25 J
Respuesta
W = −25 J
Trabajo negativo: la fuerza actúa sobre todo en contra del movimiento.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: V = 26
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 3·(−5) − 2·(−5) = −5
(b × c)y = bzcx − bxcz = 2·(−3) − 4·(−5) = 14
(b × c)z = bxcy − bycx = 4·(−5) − 3·(−3) = −11
Producto escalar con a
a·(b × c) = 0·(−5) + (−5)·14 + (−4)·(−11) = −26
V = |−26| = 26
Respuesta
V = 26
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 8 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Resultante de la carga triangular
W = ½·12·4 = 24 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·4 = 24·1,333
RB = 8 kN
RA = 24 − 8 = 16 kN
Respuesta
RB = 8 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 35,56 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Resultante de la carga repartida
W = 2·2 = 4 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·4,5 = 70·2 + 4·5
RB = 160/4,5 = 35,56 kN
RA = 74 − 35,56 = 38,44 kN
Respuesta
RB = 35,56 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: miembro CG
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo C
BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 50·4 − 25·2 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 25 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Elemento de dos fuerzas BC
BC = √(2,55² + 2,5²) = 3,571 m
Todo el bastidor: momentos respecto a A
El suelo empuja a BC en C a lo largo de CB; su componente horizontal pasa por A, solo la vertical tiene momento.
FBC·(2,5/3,571)·3 = 5·0,1125
FBC = 0,2678 kN (compresión)
Respuesta
FBC = 0,2678 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: C = 2,198 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Reacción de apoyo en B
By = 4·1,125/3 = 1,5 kN
Fuerza en el tirante
T = 1,5·1,5/1,4 = 1,607 kN
Fuerza del pasador sobre BC
Cx = 1,607 kN, Cy = −1,5 kN
C = √(1,607² + 1,5²) = 2,198 kN
Respuesta
C = 2,198 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: C (x = 4 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 41,67 kN, R2 = 33,33 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 83,33, MC = 166,7 kN·m, MD = 150, ME = 133,3, MF = 66,67, MG = 0
Respuesta
Marca C: MC = 166,7 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: B (x = 2 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 78,5 kN, R2 = 33,5 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = −11, MD = 42, ME = 19, MF = −20, MG = 0
Respuesta
Marca B: MB = −80 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 563,3 × 10⁶ mm⁴
Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = Ic + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.
Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales
Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 120 + 25/2 = 132,5 mm