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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Una fuerza constante F = (5, −15, 0) N actúa sobre un objeto mientras este se mueve en línea recta del punto A(−1, −5, −1) al punto B(−4, 5, 1). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza.
F = (5, −15, 0) NA(−1, −5, −1) mB(−4, 5, 1) m
W = J
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (4, −3, −4), b = (1, 2, 0) y c = (4, 1, 4).
a = (4, −3, −4)b = (1, 2, 0)c = (4, 1, 4)
V =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 6 mP1 = 15 kN en 3 mP2 = 55 kN en 3,5 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga linealmente variable que vale 4 kN/m en el muro y decrece hasta cero en el extremo libre B, además de una carga puntual P a 3 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
L = 5 mw0 = 4 kN/mP = 75 kN en 3 m
MA = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 6 maltura = 2 mB está a 2 m de Acarga vertical = 30 kN
FAB = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 5 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 10 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FBC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 4 m, y B está a 2,5 m sobre el suelo y a 0,6 m a la derecha de A. Una carga vertical de 5 kN actúa sobre el elemento AB en K, a 0,36 m (en horizontal) de A. Halla la fuerza FBC en el elemento BC.
P = 5 kNL = 4 mH = 2,5 mdistancia horizontal de A a B = 0,6 mdistancia horizontal de A a K = 0,36 m
FBC = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 4 m, con su pasador del vértice C a 3 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,5 m sobre el suelo. Una carga vertical de 15 kN actúa sobre la pata AC en K, a 1,5 m (en horizontal) de A. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.
P = 15 kNAB = 4 maltura de C = 3 maltura de DE = 1,5 mdistancia horizontal de A a K = 1,5 m
C = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
10 kN @ 2 m12 kN/m, 4–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Cortante y momento flectorDifícil
La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 10 mP = 65 kN en 1 mw = 2 kN/m de 0 a 10 m
Mmax = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una sección en I simétrica tiene alas de 130 mm de ancho y 10 mm de espesor, un canto total de 460 mm y un alma de 8 mm de espesor. Soporta un momento flector de 60 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σj en la unión del alma con el ala superior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Desplazamiento
d = B − A = (−4, 5, 1) − (−1, −5, −1) = (−3, 10, 2) m
Trabajo
W = F·d = 5·(−3) + (−15)·10 + 0·2 = −165 J
Respuesta
W = −165 J
Trabajo negativo: la fuerza actúa sobre todo en contra del movimiento.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: V = 72
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·4 − 0·1 = 8
(b × c)y = bzcx − bxcz = 0·4 − 1·4 = −4
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·1 − 2·4 = −7
Producto escalar con a
a·(b × c) = 4·8 + (−3)·(−4) + (−4)·(−7) = 72
V = |72| = 72
Respuesta
V = 72
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 39,58 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·3 + 55·3,5
RB = 237,5/6 = 39,58 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 39,58 = 30,42 kN
Respuesta
RB = 39,58 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: MA = 241,7 kN·m
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Resultante de la carga triangular
W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m
Momento respecto al muro
MA = W·x̄ + P·a = 10·1,667 + 75·3 = 241,7 kN·m
Respuesta
MA = 241,7 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAB = −28,28 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 10 = 20 kN
Nudo A
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0,7071 = −28,28 kN
Respuesta
FAB = −28,28 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FBC = 19,8 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 − 20·4 → Cy = −14 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −14 = 24 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Elemento de dos fuerzas BC
BC = √(3,4² + 2,5²) = 4,22 m
Todo el bastidor: momentos respecto a A
El suelo empuja a BC en C a lo largo de CB; su componente horizontal pasa por A, solo la vertical tiene momento.
FBC·(2,5/4,22)·4 = 5·0,36
FBC = 0,7596 kN (compresión)
Respuesta
FBC = 0,7596 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: C = 9,375 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Reacción de apoyo en B
By = 15·1,5/4 = 5,625 kN
Fuerza en el tirante
T = 5,625·2/1,5 = 7,5 kN
Fuerza del pasador sobre BC
Cx = 7,5 kN, Cy = −5,625 kN
C = √(7,5² + 5,625²) = 9,375 kN
Respuesta
C = 9,375 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: D (x = 6 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 32,33 kN, R2 = 25,67 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 64,67, MC = 109,3, MD = 130 kN·m, ME = 102,7, MF = 51,33, MG = 0
Respuesta
Marca D: MD = 130 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 68,06 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 65·1 + 2·10·5
RB = 165/10 = 16,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 16,5 = 68,5 kN
¿Dónde es V = 0?
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (68,5 − 65)/2 = 1,75 m
Momento máximo
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 68,06 kN·m
Respuesta
Mmax = 68,06 kN·m
Se produce en x = 1,75 m desde A.
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 20,15 × 10⁶ mm⁴
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales
Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.