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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el valor de k para el que los vectores a = (3, 3, 0) y b = (−3, k, 0) son perpendiculares.
a = (3, 3, 0)b = (−3, k, 0)
k =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el área A del triángulo de vértices A(−2, 3, 1), B(4, −4, −2) y C(−1, −1, 2). Las coordenadas están en metros.
A(−2, 3, 1)B(4, −4, −2)C(−1, −1, 2)
A = m²
3.Reacciones en vigasMedia
La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 6 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.
AB = 6 mAC = 8 mP1 = 75 kN en 4 mP2 = 45 kN en 8 m
RA = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
Una viga compuesta está empotrada en el muro en A, tiene una rótula interior en C (a 3 m de A) y descansa sobre un apoyo deslizante en D (a 10 m de A). Soporta una carga puntual P a 6 m de A, una carga uniformemente repartida w en todo el tramo CD. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
AC = 3 mAD = 10 mP = 70 kN en 6 mw = 10 kN/m de 3 a 10 m
MA = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 5 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 55 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 6 maltura = 2 mB está a 5 m de Acarga vertical = 15 kNcarga horizontal = 15 kN ←
FBC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
La palanca acodada mostrada gira alrededor del pasador O. Una fuerza vertical de 250 N en A (a 240 mm de O) se equilibra con una fuerza horizontal en B (a 75 mm por encima de O). Halla el valor de la reacción FO en el pasador.
F = 250 NOA = 240 mmOB = 75 mm
FO = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
Una prensa de rodilla tiene dos bielas iguales AB y BC, cada una de 80 mm de longitud entre pasadores. La articulación B está 25 mm por encima de la recta AC. ¿Qué fuerza hacia abajo F en B produce una fuerza de prensado horizontal de 4000 N en el deslizador C? Desprecia el rozamiento y los pesos.
Q = 4000 NAB = BC = 80 mmh = 25 mm
F = N
9.Cortante y momento flectorMedia
El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 1 m de A. Halla el momento flector Mx en la sección x = 0,5 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 3 mP = 30 kN en 1 mw = 8 kN/m de 0 a 3 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 5 mP = 45 kN en 4 mw = 6 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 90 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 30 MPa a tracción y 100 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo Mallow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
El producto escalar es igual a cero
a·b = 3·(−3) + 3·k + 0·0 = 0
−9 + 3·k = 0
Despeja k
k = −(−9)/3 = 3
Respuesta
k = 3
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: A = 13,52 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Momentos respecto a A
Antihorario positivo.
ΣMA = 0: RB·6 = 75·4 + 45·8
RB = 660/6 = 110 kN
Equilibrio vertical
RA = 75 + 45 − 110 = 10 kN
Respuesta
RA = 10 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: MA = 225 kN·m
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación. Una rótula interior no puede transmitir momento flector, lo que da una ecuación adicional: el momento respecto a la rótula de las fuerzas de cualquiera de los dos lados es nulo.
Tramo CD
La rótula no tiene momento, así que los momentos respecto a C solo en CD deben equilibrarse.
W = 10·7 = 70 kN en 3,5 m desde C
ΣMC = 0: RD·7 = 70·3 + 70·3,5
RD = 65 kN
VC = 140 − 65 = 75 kN
Tramo AC
La fuerza en la rótula VC actúa hacia abajo sobre AC (igual y opuesta a su acción sobre CD).
RA = 75 = 75 kN
MA = 75·3 = 225 kN·m
Respuesta
MA = 225 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FBC = −18,33 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·1 → Cy = 11 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11 = 44 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·5 − 15·2 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 7,5 = 7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Fuerza en B
Q = 250·240/75 = 800 N
Reacción en el pasador
Ox = 800 N, Oy = 250 N
FO = √(800² + 250²) = 838,2 N
Respuesta
FO = 838,2 N
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: F = 2632 N
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Ángulo de la biela
sin θ = 25/80 = 0,3125, θ = 18,21°
Fuerza en la biela
Flink = Q/cos θ = 4211 N
Fuerza en B
F = 2·Flink·sin θ = 2·4000·tan θ = 2632 N
Respuesta
F = 2632 N
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = −40 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Quédate con la parte del extremo libre
P: −30·0,5 = −15 kN·m
w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m
Mx = −15 − 25 = −40 kN·m
Respuesta
Mx = −40 kN·m
Negativo significa tracción en la cara superior.
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 36 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·4 + 6·5·2,5
RB = 255/5 = 51 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 51 = 24 kN
Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 24·2 − 6·2·1 = 36 kN·m
Respuesta
Mx = 36 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 56,05 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·75 − 706,9·90)/(30000 − 706,9) = 74,64 mm
Placa completa respecto a ȳ
200·150³/12 + 30000·0,362² = 56,25 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·15,36² = 0,2066 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 56,05 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 56,05 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Mallow = 38,04 kN·m
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.