Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
w0​ = 4 kN/mP = 70 kNABRB​ = ?4 m6 m

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que crece desde cero en A hasta 4 kN/m en B. Además actúa una carga puntual P a 4 m de A. Halla la reacción vertical RB.

L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 70 kN en 4 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
P = 70 kN, 45°Q = 60 kNABRA​ = ?3 m3 m4 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 6 m de A, inclinada 45° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 3 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.

L = 10 mP = 70 kN en 6 m, θ = 45°Q = 60 kN en 3 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 70 kNP2​ = 25 kNABC1 m3 m2 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el esfuerzo cortante Vx justo a la izquierda del apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mP1 = 70 kN en 1 mP2 = 25 kN en 6 mapoyos en x = 0 y x = 4 m
Vx = kN
4.Cortante y momento flectorDifícil
20 kN55 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 0 m55 kN @ 12 m60 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH25 kN40 kN20 kN20 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

D: 25 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB45 kN15 kN8 m2 m3 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 3 mB está a 2 m de Acarga vertical = 45 kNcarga horizontal = 15 kN ←
FBC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
w = 10 kN/mδL = 4 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 15 kNABδ3 m2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 2 m del apoyo B. Halla la flecha δmid en el centro del vano.

P = 15 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 m30 × 60 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 6 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 41,33 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·10 = 20·6,667 + 70·4
RB = 41,33 kN
RA = 90 − 41,33 = 48,67 kN

Respuesta

RB = 41,33 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 79,18 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Componentes de P

Pv = 70·sin 45° = 49,5 kN
Ph = 70·cos 45° = 49,5 kN

Reacciones

ΣMA = 0: RB·10 = 49,5·6 + 60·3 → RB = 47,7 kN
Ay = 49,5 + 60 − 47,7 = 61,8 kN
Ax = Ph = 49,5 kN

Resultante en A

RA = √(49,5² + 61,8²) = 79,18 kN

Respuesta

RA = 79,18 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: Vx = −30 kN

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·1 + 25·6
RB = 220/4 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 55 = 40 kN

Corta justo a la izquierda de B y quédate con la parte izquierda

Vx = RA − P1 = 40 − 70 = −30 kN

Respuesta

Vx = −30 kN
4.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 10 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 56,25 kN, R2 = 78,75 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −40, MC = 32,5, MD = −15, ME = −62,5, MF = −110 kN·m, MG = 0

Respuesta

Marca F: MF = −110 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 38,44 kN (T), BC: 46,87 kN (T), CD: 46,87 kN (T), DE: 40,31 kN (T), FG: 38,44 kN (C), GH: 40,31 kN (C), AF: 64,06 kN (C), HE: 67,19 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 33,75 kN (T), BG: 14,06 kN (C), DG: 10,94 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = −12,58 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB45 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·2 − 15·3 → Cy = 5,625 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 5,625 = 39,38 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5,625/0,4472 = −12,58 kN

Respuesta

FBC = −12,58 kN (compresión)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 8,354 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flecha

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 8,354 mm

Respuesta

δmax = 8,354 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: δmid = 58,81 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flecha en el centro del vano

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·6,27 × 10¹¹) = 58,81 mm

Respuesta

δmid = 58,81 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 5,829 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/4000² = 5829 N = 5,829 kN

Respuesta

Pcr = 5,829 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 3,084 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/7,5 = 800

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Respuesta

σcr = 3,084 MPa

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