Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
w = 2 kN/mP = 65 kNABMA​ = ?3,5 m1,5 m

La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 3,5 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.

L = 5 mP = 65 kN en 3,5 mw = 2 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
2.Reacciones en vigasDifícil
P = 30 kN, 60°Q = 80 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 2 m de A, inclinada 60° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 3 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.

L = 4 mP = 30 kN en 2 m, θ = 60°Q = 80 kN en 3 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
20 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 2 m55 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 10 kN/mP = 10 kNABsección4 m2,5 m3,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 6,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 10 kN en 4 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH30 kN20 kN25 kN4 × 3 m3 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓F: 25 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB50 kN15 kN4 m3 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 15 kN →
FAB = kN
7.Flecha de la vigaMedia
w = 4 kN/mδL = 5 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acero)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 22 kNABδ3 m2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 2 m del apoyo B. Halla la flecha δmid en el centro del vano.

P = 22 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 m50 × 80 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 5 md = 40 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: MA = 252,5 kN·m

Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.

Resultante de la carga repartida

W = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m

Momento respecto al muro

MA = P·a + W·x̄ = 65·3,5 + 10·2,5 = 252,5 kN·m

Respuesta

MA = 252,5 kN·m
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 36,24 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Componentes de P

Pv = 30·sin 60° = 25,98 kN
Ph = 30·cos 60° = 15 kN

Reacciones

ΣMA = 0: RB·4 = 25,98·2 + 80·3 → RB = 72,99 kN
Ay = 25,98 + 80 − 72,99 = 32,99 kN
Ax = Ph = 15 kN

Resultante en A

RA = √(15² + 32,99²) = 36,24 kN

Respuesta

RA = 36,24 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 35 kN, R2 = 40 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 70, MC = 100, MD = 130, ME = 160 kN·m, MF = 80, MG = 0

Respuesta

Marca E: ME = 160 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 127,8 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·4 + 10·10·5
RB = 540/10 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 54 = 56 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 56RB​ = 54sección4 m2,5 m3,5 m

Corta en x = 6,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 56·6,5 − 10·(6,5 − 4) − 10·6,5·3,25 = 127,8 kN·m

Respuesta

Mx = 127,8 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo G

FG y GH están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 46,25 kN (T), BC: 46,25 kN (T), CD: 28,75 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 12,37 kN (C), HC: 12,37 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAB = −9,014 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 + 15·2 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 45 = 5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0,5547 = −9,014 kN

Respuesta

FAB = −9,014 kN (compresión)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 9,766 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 9,766 mm

Respuesta

δ = 9,766 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: δmid = 64,38 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 22000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Flecha en el centro del vano

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 22000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·8,4 × 10¹¹) = 64,38 mm

Respuesta

δmid = 64,38 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 73,43 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2800² = 73435 N = 73,43 kN

Respuesta

Pcr = 73,43 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 31,58 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/10 = 250

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Respuesta

σcr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis