Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
w = 8 kN/mP = 65 kNABRA​ = ?4 m4 m2 m

La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w desde el muro hasta 4 m y una carga puntual P a 8 m del muro. Halla la reacción vertical RA en el muro.

L = 10 mP = 65 kN en 8 mw = 8 kN/m de 0 a 4 m
RA = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 3 kN/mP = 70 kNABCRB​ = ?2 m0,5 m2 m1,5 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 4,5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 2 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 2,5 m hasta el extremo libre en 6 m. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 70 kN en 2 mw = 3 kN/m de 2,5 a 6 m
RB = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
4 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

45 kN @ 3 m4 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
8 kN/m20 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 12 m35 kN @ 4 m8 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB50 kN5 m3 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 5 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 50 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB45 kN25 kN5 m1 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 5 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 45 kNcarga horizontal = 25 kN →
FAC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
w = 20 kN/mABθ4 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θA de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 2 kN/mδL = 3 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acero)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 m40 × 50 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 6 md = 60 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 97 kN

Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.

Resultante de la carga repartida

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

Equilibrio vertical

RA = P + W = 65 + 32 = 97 kN

Respuesta

RA = 97 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 41,03 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga repartida

W = 3·3,5 = 10,5 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 70·2 + 10,5·4,25
RB = 184,6/4,5 = 41,03 kN
RA = 80,5 − 41,03 = 39,47 kN

Respuesta

RB = 41,03 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 34,17 kN, R2 = 30,83 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 32,17, MC = 60,33, MD = 84,5 kN·m, ME = 59,67, MF = 30,83, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 84,5 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 39,5 kN, R2 = 79,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 63, MC = 94 kN·m, MD = 23, ME = −80, MF = −40, MG = 0

Respuesta

Marca C: MC = 94 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = −42,43 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,7071 = −42,43 kN

Respuesta

FBC = −42,43 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 38 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB45 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 + 25·2 → Cy = 19 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 19 = 26 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −19/0,4472 = −42,49 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−42,49)·0,8944 = 38 kN

Respuesta

FAC = 38 kN (tracción)
7.Flecha de la viga

Respuesta: θA = 0,01159 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Giro en el extremo

θA = wL³/(24EI) = 20·4000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,01159 rad

Respuesta

θA = 0,01159 rad

Eso son 0,6643°.

8.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 1,266 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3000⁴/(384·200000·8,333) = 1,266 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,266 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 1,266 × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 23,5 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2800² = 23499 N = 23,5 kN

Respuesta

Pcr = 23,5 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 4,318 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Respuesta

σcr = 4,318 MPa

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