1.Fácil
Un sistema masa–resorte–amortiguador se describe con y″ + 0,4y′ + 4y = 0. Compáralo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 y halla el factor de amortiguamiento ζ.
y″ + 0,4y′ + 4y = 0
ζ =
Hoja de ejercicios de Ecuaciones diferenciales con soluciones
2.Fácil
Un cultivo bacteriano empieza con 1000 células y crece según dN/dt = k·N con k = 0,13 h⁻¹. ¿Al cabo de cuántas horas t hay 10000 células?
N0 = 1000k = 0,13 h⁻¹N = 10000
t = h
3.Media
Una taza de café a 85 °C se deja en una habitación a 23 °C. Al cabo de 27 min su temperatura es 39 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). ¿Cuánto tiempo después del inicio, t, tarda en alcanzar 30 °C?
T0 = 85 °CTa = 23 °CT(27) = 39 °CT = 30 °C
t = min
4.Media
Una pieza de acero forjado a 360 °C se deja enfriar en un taller a 23 °C. Al cabo de 38 min su temperatura es 253 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 23 °CT(38) = 253 °C
k = min⁻¹
5.Difícil
Un sistema obedece y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla el valor máximo ymax de su respuesta al escalón.
y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difícil
Un depósito contiene 500 L de agua en la que hay disueltos 5 kg de sal. Entra salmuera con 0,25 kg de sal por litro a 20 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Cuánta sal m hay en el depósito al cabo de 35 min?
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
Soluciones
- 1. ζ = 0,1
- 2. t = 17,71 h
- 3. t = 43,48 min
- 4. k = 0,01005 min⁻¹
- 5. ymax = 13,9
- 6. m = 95,41 kg
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