Hoja de ejercicios de Optimización con soluciones

Un agricultor tiene 120 m de valla para cercar un campo rectangular junto a un río recto. No hace falta valla a lo largo del río. Halla la longitud y del lado paralelo al río para obtener el área máxima.

Un cercado rectangular se valla con 360 m de valla y se divide en dos partes con una valla adicional paralela a los lados de longitud x (en total, tres vallas de longitud x y dos de longitud y). Halla el área total máxima A que se puede cercar.

Una parcela rectangular de 400 m² se valla por los cuatro lados. El lado de la calle, de longitud x, cuesta 15 € por metro; los otros tres lados cuestan 10 € por metro. Halla la longitud x del lado de la calle que minimiza el coste.

Una lata cilíndrica cerrada (con tapa y fondo) debe contener 750 cm³. El metal utilizado es proporcional a la superficie total. Halla la superficie mínima posible A.

Un teatro vende 1125 entradas por función a 25 € cada una. Un estudio de mercado indica que cada aumento de 1 € en el precio de la entrada supone 25 entradas vendidas menos (y cada bajada de 1 €, 25 más). Halla los ingresos máximos R por función.

Una pequeña empresa vende su producto a un precio de mercado fijo de 30 € por unidad. Producir q unidades cuesta C(q) = 200 + 6q + 0,5q² euros. Halla la producción q que maximiza el beneficio.