Tu as besoin de €5 000 dans 2 ans. Un compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €5 0006% / 12n = 2
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités égales sur 4 ans. Le taux d'intérêt est de 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €15 0004,8% / 12N = 48
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €13 000, €20 000, €14 000, €30 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €11 000, €18 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 11 000CF2 = 18 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 9%n = 8
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 9 ans et se vend €860. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 9P = €860
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €10 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €22,50 chacune et 10 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4,5% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 9%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 9%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 27, 49, 30, 26, 25, 58, 30.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 10. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 92 ?
μ = 100σ = 10x = 92
P =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 5 boules rouges et 8 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
5 / 8
P =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 6 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 6p = 0,1
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,3969. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,3969
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 10 % des valeurs (le 10e centile).
μ = 250σ = 5P = 10%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 12 éléments a une moyenne de 33,5 et un écart-type s = 1. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 12x̄ = 33,5s = 199%t(11) = 3,106
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
Une étude pilote suggère qu’environ 0,3 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,05 ?
p ≈ 0,3E = 0,0590%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 118,8 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,8s = 4n = 81
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 130 patients sur 200 sous traitement A guérissent, et 122 sur 200 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 122n₂ = 200
z =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (3, 6). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(3, 6)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 4436 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·2 = 24
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,127 = €4 435,93
Réponse
PV = €4 435,93
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 344,1 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·4 = 48
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8256
A = 15 000·0,004/(1 − 0,8256) = €344,08
Réponse
A = €344,08
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 7296 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 13 000/1,05 = 12 380,95
CF2/(1 + 0,05)2 = 20 000/1,103 = 18 140,59
CF3/(1 + 0,05)3 = 14 000/1,158 = 12 093,73
CF4/(1 + 0,05)4 = 30 000/1,216 = 24 681,07
Additionner
NPV = €7 296,34
Réponse
NPV = €7 296,34
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 9,658 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 1 802,72
NPV(10%) = −123,97
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,045, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €449,36
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,4945 = €494,47
Prix
P = €943,83
Réponse
P = €943,83
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 10,48 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€860 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Résoudre numériquement
P(10%) = €884,82, P(11%) = €833,89
YTM = 10,48%
Réponse
YTM = 10,48%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,21 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Réponse
P = 0,7881
11.Probabilités
Réponse: P = 0,1282
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282
Réponse
P = 0,1282
12.Probabilités
Réponse: P = 0,8857
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543
Les additionner
P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857
Réponse
P = 0,8857
13.Loi normale
Réponse: z = 0,52
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,3969)/2 = 0,6985
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,6985 dans la table et lisez z.
z = 0,52
Réponse
z = 0,52
14.Loi normale
Réponse: x = 243,6 g
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Retour à x
x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g
Réponse
x = 243,59 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 34,4
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Marge d'erreur
E = 3,106·1/√12 = 0,8966
Intervalle
33,5 ± 0,8966 → [32,6, 34,4]
Réponse
borne supérieure = 34,4
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 228
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 1,645²·0,3·0,7/0,05² = 227,3
Arrondir vers le haut
n = 228
Réponse
n = 228
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Statistique de test
t = (118,8 − 120)/0,4444 = −2,7
Réponse
t = −2,7
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 0,8285
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 130/200 = 0,65
p̂₂ = 122/200 = 0,61
p̂ = 252/400 = 0,63
Erreur type sous H₀
SE = √(0,63·0,37·(1/200 + 1/200)) = 0,04828
Statistique de test
z = (0,65 − 0,61)/0,04828 = 0,8285
Réponse
z = 0,8285
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9824
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 513/6 = 85,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 445
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2880
Coefficient de détermination
r² = 445²/(70·2880) = 0,9824
Réponse
r² = 0,9824
Environ 98,24 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −2,69
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.