Tu as besoin de €20 000 dans 7 ans. Un compte rapporte 6 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €20 0006% / 4n = 7
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €250 000 est remboursé par mensualités constantes sur 30 ans à 6 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 12 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €250 0006% / 12N = 360k = 144
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 10 ans et coûte €2 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €40 000M = €2 000n = 10r = 6%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €15 500, €11 500, €13 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 15 500CF2 = 11 500CF3 = 13 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €910. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €10 000 000, des actions privilégiées valant €1 500 000 et une dette valant €4 000 000. Le coût des capitaux propres est de 10%, le coût des actions privilégiées de 7% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €5 000 000 et un coût des capitaux propres de 11%. Sa dette se compose de 5 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%, 11 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €885 chacune. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 24, 37, 25, 23, 52.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 90.
μ = 70σ = 20x = 90
z =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 11 ? L'ordre ne compte pas.
n = 11k = 4
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 7 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 7p = 0,2k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,0668. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,0668
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 5 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 100 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 7,6. Quelle est la marge d’erreur E₂ si la même étude utilise 400 observations à la place ?
99%n₁ = 100E₁ = 7,6n₂ = 400
E₂ =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 34. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 34E = 395%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 97,76 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 97,76s = 8n = 25
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 200 contre H₁ : μ < 200 est réalisé au seuil α = 0.05 avec un échantillon de 25 ; l’écart-type est connu et vaut 7.5. En réalité, la moyenne vaut 197.45. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 200μ = 197,45σ = 7,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (3,5, 12). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 12)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 13182 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·7 = 28
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,517 = €13 181,98
Réponse
PV = €13 181,98
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: B = 197699 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 360 − 144 = 216
B = 1499·(1 − (1 + 0,005)−216)/0,005 = €197 698,60
Réponse
B = €197 698,60
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 7435 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−10)/0,06 = 7,36
Prix d’achat annualisé
40 000/7,36 = 5 434,72
EAC
EAC = 5 434,72 + 2 000 = €7 434,72
Réponse
EAC = €7 434,72
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 28,95 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 1 416,00
NPV(30%) = −355,03
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,0175, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €586,35
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7068 = €706,82
Prix
P = €1 293,18
Réponse
P = €1 293,18
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 7,539 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,539%
Réponse
YTM = 7,539%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,748 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (90 − 70)/20 = 1
Réponse
z = 1
11.Probabilités
Réponse: N = 330
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330
Réponse
N = 330
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2753
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formule binomiale
P(X = 2) = 21·0,22·0,85 = 21·0,04·0,3277 = 0,2753
Réponse
P = 0,2753
13.Loi normale
Réponse: z = 1,5
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,0668 = 0,9332
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9332 dans la table et lisez z.
z = 1,50
Réponse
z = 1,50
14.Loi normale
Réponse: x = 258,2 g
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,95
z d’après la table
z ≈ 1,64
Retour aux unités d’origine
x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g
Réponse
x = 258,2 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 3,8
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/400) = 0,5
Nouvelle marge
E₂ = 7,6·0,5 = 3,8
Réponse
E₂ = 3,8
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 494
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·34/3)² = 493,4
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 494
Réponse
n = 494
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,4
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Statistique de test
t = (97,76 − 100)/1,6 = −1,4
Réponse
t = −1,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 52,19 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 200 − 1,645·1,5 = 197,5
z avec la vraie moyenne
z = (197,5 − 197,45)/1,5 = 0,055
Puissance
puissance = P(Z < 0.055) = 52.19%
1 − β = 52,19%
Réponse
1 − β = 52,19%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9735
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 312/6 = 52
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
Syy = Σ(y − ȳ)² = 248
Coefficient de détermination
r² = 65²/(17,5·248) = 0,9735
Réponse
r² = 0,9735
Environ 97,35 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4,167
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.