Tu as besoin de €10 000 dans 8 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €10 0005% / 12n = 8
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €1 000 au début de chaque année pendant 16 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 4 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 16 ? Trouvez FV.
A = €1 000i = 4%n = 16
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €7 000, €7 000, €8 000, €8 000. Le coût du capital est de 6 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €25 000, €23 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 25 000CF2 = 23 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 4%n = 8
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €1 085. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 10P = €1 085
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €5 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €17,50 chacune et 20 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 10, 10, 51, 15, 50.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 92 ?
μ = 100σ = 8x = 92
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 8 ? L'ordre ne compte pas.
n = 8k = 4
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 10 € pour jouer. Vous gagnez 50 € avec la probabilité 0,3 et 100 € avec la probabilité 0,02 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €10€50: p = 0,3€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 32 et 44 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 44
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 20 % des valeurs (le 20e centile).
μ = 178σ = 7P = 20%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 36 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 6,9. Quelle est la marge d’erreur E₂ si la même étude utilise 144 observations à la place ?
99%n₁ = 36E₁ = 6,9n₂ = 144
E₂ =
16.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 6 parcelles, rendement moyen 34,5 kg, écart-type 7,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 46 kg, écart-type 6,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 495,7 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 495,7s = 12n = 25
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ > 500 est réalisé au seuil α = 0,05 avec un échantillon de 64 ; l’écart-type est connu et vaut 16. En réalité, la moyenne vaut 505,6. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.
μ₀ = 500μ = 505,6σ = 16n = 64α = 0,05
β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 6Σx = 21Σy = 126Σx² = 91Σy² = 2778Σxy = 395
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 5,5.
n = 5x = 5,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 6709 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·8 = 96
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,491 = €6 708,77
Réponse
PV = €6 708,77
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 22698 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,04)16 − 1)/0,04 = 21,82
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 1 000·21,82·1,04 = €22 697,51
Réponse
FV = €22 697,51
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 5887 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 7 000/1,06 = 6 603,77
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
CF4/(1 + 0,06)4 = 8 000/1,262 = 6 336,75
Additionner
NPV = €5 887,45
Réponse
NPV = €5 887,45
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 14,02 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(10%) = 2 148,76
NPV(15%) = −491,49
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,02, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,7284)/0,02 = €475,22
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7284 = €728,45
Prix
P = €1 203,67
Réponse
P = €1 203,67
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 3,003 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·6%·(1 − 0,3) = 7,1%
Réponse
WACC = 7,1%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,685 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 000 000·€17,50 = €35 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 1,1·7% = 9,2%
Pondérations
V = €54 200 000, E/V = 0,6458, D/V = 0,3542
WACC
WACC = 0,6458·9,2% + 0,3542·3%·(1 − 0,3) = 6,685%
Réponse
WACC = 6,685%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 21,37
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1
Table de la loi normale
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
11.Probabilités
Réponse: N = 70
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70
Réponse
N = 70
12.Probabilités
Réponse: E(G) = 7 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 40 (p = 0,3), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,68)
Espérance
E(G) = 40·0,3 + 90·0,02 − 10·0,68 = 7 €
Réponse
E(G) = 7 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,4772
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (44 − 32)/6 = 2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(2) − Φ(0) = 0,9772 − 0,5 = 0,4772
Réponse
P = 0,4772
14.Loi normale
Réponse: x = 172,1 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Retour à x
x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm
Réponse
x = 172,11 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 3,45
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(36/144) = 0,5
Nouvelle marge
E₂ = 6,9·0,5 = 3,45
Réponse
E₂ = 3,45
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −24,34 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (5·7,5² + 5·6,5²)/10 = 49,25
sp = 7,018
Marge d'erreur
E = 3,169·7,018·√(1/6 + 1/6) = 12,84
Intervalle
−11,5 ± 12,84 → [−24,34, 1,34]
Réponse
borne inférieure = −24,34 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,792
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Statistique de test
t = (495,7 − 500)/2,4 = −1,792
Réponse
t = −1,792
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: β = 12,4 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 500 + 1,645·2 = 503,3
z avec la vraie moyenne
z = (503,3 − 505,6)/2 = −1,155
Erreur de deuxième espèce
puissance = P(Z > −1,155) = 87,6%
β = 100% − 87,6% = 12,4%
Réponse
β = 12,4%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9571
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 395 − 21·126/6 = −46
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2778 − 126²/6 = 132
Coefficient de corrélation
r = −46/√(17,5·132) = −0,9571
Réponse
r = −0,9571
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 54
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 256/5 = 51,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Droite de régression
b = 56/10 = 5,6
a = 51,2 − 5,6·5 = 23,2
ŷ = 23,2 + 5,6·x
Prédiction
ŷ = 23,2 + 5,6·5,5 = 54
Réponse
ŷ = 54
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