Tu places €1 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 3 ans.
PV = €1 0003,6% / 4n = 3
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités égales sur 30 ans. Le taux d'intérêt est de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €200 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €50 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €5 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 5 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €50 000M = €5 000n = 9r = 5%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €20 000 et rapporte €7 500, €13 000, €8 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 13 000CF3 = 8 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% et arrive à échéance dans 8 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 7% à 7,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 6%n = 8y1 = 7%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €1 055. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 4P = €1 055
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,75. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 6%T = 21%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,1. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 4,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1,1D/E = 1T = 25,8%rf = 4%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 10, 54, 37, 47, 12, 18, 59.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 85 ?
μ = 70σ = 15x = 85
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 11 ? L'ordre ne compte pas.
n = 11k = 2
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 7 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 7p = 0,25
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,0192. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,0192
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 95 % des valeurs (le 95e centile).
μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
15.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 100 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 6,9. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 90 % obtenu avec les mêmes données ?
99%n₁ = 100E₁ = 6,990%
E₂ =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 30 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 3,8 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 29, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 16,047 et 2,5 % au-dessus de 45,722.
n = 30s = 3,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 80 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 5. Un échantillon aléatoire de 25 observations a une moyenne de 78,44. Testez H₀ : μ = 80 contre H₁ : μ ≠ 80. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 80σ = 5n = 25x̄ = 78,44H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 117,9. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 117,9σ = 10n = 4999%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (20,5, 88). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(20,5, 88)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 1114 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 200 000·0,003/(1 − 0,3401) = €909,29
Réponse
A = €909,29
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 12035 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,05−9)/0,05 = 7,108
Prix d’achat annualisé
50 000/7,108 = 7 034,50
EAC
EAC = 7 034,50 + 5 000 = €12 034,50
Réponse
EAC = €12 034,50
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 20,61 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 196,76
NPV(25%) = −1 328,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(5%) = €1 070,92, P(6%) = €1 034,65
YTM = 5,433%
Réponse
YTM = 5,433%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,317 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Poids à partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·6%·(1 − 0,21) = 8,317%
Réponse
WACC = 8,317%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 12,62 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1,1·(1 + 0,742·1) = 1,916
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,916·4,5% = 12,62%
Réponse
re = 12,62%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 20,49
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1
Table de la loi normale
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
11.Probabilités
Réponse: N = 55
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Réponse
N = 55
12.Probabilités
Réponse: P = 0,4449
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,757 = 0,1335
P(X = 1) = 7·0,25·0,756 = 0,3115
Les additionner
P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449
Réponse
P = 0,4449
13.Loi normale
Réponse: z = 2,07
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,0192 = 0,9808
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9808 dans la table et lisez z.
z = 2,07
Réponse
z = 2,07
14.Loi normale
Réponse: x = 41,87 min
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Retour à x
x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min
Réponse
x = 41,87 min
15.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 4,406
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/100) = 0,6386
Nouvelle marge
E₂ = 6,9·0,6386 = 4,406
Réponse
E₂ = 4,406
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 5,108 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 29·3,8² = 418,8
Bornes pour σ²
418,8/45,722 = 9,159
418,8/16,047 = 26,1
Borne pour σ
σ = √26,1 = 5,108 µm
Réponse
σ = 5,108 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [3,026, 5,108] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,1188
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (78,44 − 80)/1 = −1,56
Aire de la queue
Φ(1,56) = 0,9406
1 − Φ(1,56) = 0,0594
Valeur p
p = 2·0,0594 = 0,1188
Réponse
p = 0,1188
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 114,2
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 2,576·10/√49 = 3,68
Borne de l'intervalle
L = 117,9 − 3,68 = 114,2
Réponse
L = 114,2
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,7467
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 271/6 = 45,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 80,83
Coefficient de détermination
r² = 32,5²/(17,5·80,83) = 0,7467
Réponse
r² = 0,7467
Environ 74,67 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 4,571
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 576/6 = 96
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 660
Droite de régression
b = 660/157,5 = 4,19
a = 96 − 4,19·23,5 = −2,476
ŷ = −2,476 + 4,19·x
Valeur prédite
ŷ = −2,476 + 4,19·20,5 = 83,43
Résidu
e = 88 − 83,43 = 4,571
Réponse
e = 4,571
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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