Tu places €8 000 à un taux nominal de 2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 4 ans.
PV = €8 0002% / 12n = 4
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €50 000 dans 14 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 5,4 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €50 0005,4% / 12N = 168
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €19 000, €16 000, €26 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €8 000, €12 500, €7 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 12 500CF3 = 7 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 12 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 9% à 10,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 12y1 = 9%y2 = 10,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €1 070. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 5P = €1 070
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €5 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €12 000 000 et un coût des capitaux propres de 9%. Sa dette se compose de 8 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%, 9 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €904 chacune. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 20, 33, 23, 36, 27.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 146.
μ = 170σ = 12x = 146
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,35, 0,3, 0,15, 0,15
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
X a la loi indiquée, et Y = −2X + 10. Trouvez l’écart-type σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = −2X + 10
σY =
13.Loi normaleMoyen
X est normale de moyenne 60 s et d’écart-type 5 s ; Y est indépendante et normale de moyenne 45 s et d’écart-type 4 s. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 101,8 s. Arrondissez z à deux décimales.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101,8 s
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 90 % des valeurs (le 90e centile).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 10 éléments a une moyenne de 53,5 et un écart-type s = 3. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 10x̄ = 53,5s = 399%t(9) = 3,25
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
On ne sait rien à l’avance sur la proportion de produits défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,05 ?
p = 0,5E = 0,0599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
7 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −14,56 et l’écart-type des différences 10,7. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 7d̄ = −14,56sd = 10,7
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 499. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 499σ = 10n = 3699%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 31 ?
n = 5ŷ = 31
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 8666 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 19 000/1,08 = 17 592,59
CF2/(1 + 0,08)2 = 16 000/1,166 = 13 717,42
CF3/(1 + 0,08)3 = 26 000/1,26 = 20 639,64
Additionner
NPV = €−8 050,35
Réponse
NPV = €−8 050,35
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 19 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 1 339,69
NPV(20%) = −312,50
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 070 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(2%) = €1 094,27, P(3%) = €1 045,80
YTM = 2,494%
Réponse
YTM = 2,494%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,073 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (146 − 170)/12 = −2
Réponse
z = −2
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 1,3
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Changement linéaire
σY = |−2|·0,8047 = 1,609
Réponse
σY = 1,609
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = −2·0,95 + 10 = 8,1.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,6915
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la somme
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Centrer-réduire
z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5
Queue supérieure
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Réponse
P = 0,6915
14.Loi normale
Réponse: x = 187 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Retour à x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Réponse
x = 186,97 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 3,083
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Marge d'erreur
E = 3,25·3/√10 = 3,083
Réponse
E = 3,083
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6
Arrondir vers le haut
n = 664
Réponse
n = 664
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 10,7/√7 = 4,044
Statistique de test
t = −14,56/4,044 = −3,6
Réponse
t = −3,6
Avec df = 6, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,447 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 494,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 2,576·10/√36 = 4,293
Borne de l'intervalle
L = 499 − 4,293 = 494,7
Réponse
L = 494,7
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9854
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 449/5 = 89,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 411
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1905
Coefficient de détermination
r² = 411²/(90·1905) = 0,9854
Réponse
r² = 0,9854
Environ 98,54 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 8,954
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 107/5 = 21,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Droite de régression
b = 130/40 = 3,25
a = 21,4 − 3,25·6 = 1,9
ŷ = 1,9 + 3,25·x
Résoudre pour x
x = (31 − 1,9)/3,25 = 8,954
Réponse
x = 8,954
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