Tu places €12 000 à un taux nominal de 3 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 5 ans.
PV = €12 0003% / 4n = 5
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €8 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €8 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 8 ans et coûte €4 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 5 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €4 000n = 8r = 5%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €20 000 et rapporte €13 000, €12 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 12 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 6%n = 10
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 11 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%) se vend €1 213. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 070. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 213prix de remboursement anticipé = €1 070remboursement anticipé dans 3 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €12 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,1. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,6. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 1,5% et la prime de risque du marché de 5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1,1D/E = 0,6T = 25,8%rf = 1,5%rm − rf = 5%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 19, 16, 20, 56, 10, 44, 47.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 105.
μ = 100σ = 5x = 105
z =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 3 personnes parmi un groupe de 13 ? L'ordre ne compte pas.
n = 13k = 3
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 12 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?
n = 12p = 0,2k = 5
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Quelle proportion se situe entre 244,25 et 252,5 g ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 252,5
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 30 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points30%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 15 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 6,8 et un écart-type de 3,4. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.
n = 15d̄ = 6,8sd = 3,495%t(14) = 2,145
E = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 52,5 kg, écart-type 8 kg. Groupe de parcelles 2 : 9 parcelles, moyenne 56 kg, écart-type 2,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 12 étudiants, note moyenne 87,5, écart-type 4,5. Groupe 2 : 5 étudiants, note moyenne 80,7, écart-type 8,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 12x̄₁ = 87,5s₁ = 4,5n₂ = 5x̄₂ = 80,7s₂ = 8,5
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 20 patients sur 80 sous traitement A guérissent, et 111 sur 300 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 111n₂ = 300
z =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (2, 51). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(2, 51)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 13934 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 8 000·0,006/(1 − 0,6984) = €159,17
Réponse
A = €159,17
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 7094 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Prix d’achat annualisé
20 000/6,463 = 3 094,44
EAC
EAC = 3 094,44 + 4 000 = €7 094,44
Réponse
EAC = €7 094,44
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 17,98 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 756,14
NPV(20%) = −486,11
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 15 + 5·756,14/(756,14 − (−486,11)) = 18,04%
exact: NPV(17,98%) = 0 → IRR = 17,98%
Réponse
IRR = 17,98%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 925,6 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, i = 0,03, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€25,00·(1 − 0,5537)/0,03 = €371,94
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5537 = €553,68
Prix
P = €925,61
Réponse
P = €925,61
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 1,915 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1213 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
Résoudre numériquement
y = 1%: €1 244,40
y = 2%: €1 210,16
YTC = 1,915%
Réponse
YTC = 1,915%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 4,502%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,731 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·9% + 0,3333·7%·(1 − 0,258) = 7,731%
Réponse
WACC = 7,731%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,449 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1,1·(1 + 0,742·0,6) = 1,59
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 1,59·5% = 9,449%
Réponse
re = 9,449%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 18,15
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (105 − 100)/5 = 1
Réponse
z = 1
11.Probabilités
Réponse: N = 286
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286
Réponse
N = 286
12.Probabilités
Réponse: P = 0,05315
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,5) − Φ(−1,15) = 0,6915 − 0,1251 = 0,5664
Réponse
P = 0,5664
14.Loi normale
Réponse: x = 59,8 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,3
z d’après la table
z ≈ −0,52
Retour aux unités d’origine
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 points
Réponse
x = 59,8 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 1,883 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 14, t = 2,145
Marge d'erreur
E = 2,145·3,4/√15 = 1,883
Réponse
E = 1,883 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −9,637 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·8² + 8·2,5²)/12 = 25,5
sp = 5,05
Marge d'erreur
E = 2,179·5,05·√(1/5 + 1/9) = 6,137
Intervalle
−3,5 ± 6,137 → [−9,637, 2,637]
Réponse
borne inférieure = −9,637 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,187
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (11·4,5² + 4·8,5²)/15 = 34,12
sp = 5,841
Erreur type
SE = 5,841·√(1/12 + 1/5) = 3,109
Statistique de test
t = (87,5 − 80,7)/3,109 = 2,187
Réponse
t = 2,187
Avec df = 15, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,131 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −2,007
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 20/80 = 0,25
p̂₂ = 111/300 = 0,37
p̂ = 131/380 = 0,3447
Erreur type sous H₀
SE = √(0,3447·0,6553·(1/80 + 1/300)) = 0,05981
Statistique de test
z = (0,25 − 0,37)/0,05981 = −2,007
Réponse
z = −2,007
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9869
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 309/5 = 61,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1317
Coefficient de détermination
r² = 228²/(40·1317) = 0,9869
Réponse
r² = 0,9869
Environ 98,69 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −5,15
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 376/5 = 75,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254
Droite de régression
b = 254/40 = 6,35
a = 75,2 − 6,35·5 = 43,45
ŷ = 43,45 + 6,35·x
Valeur prédite
ŷ = 43,45 + 6,35·2 = 56,15
Résidu
e = 51 − 56,15 = −5,15
Réponse
e = −5,15
Le point se trouve en dessous de la droite.
Ceci est un support d’entraînement indépendant. ExamProblems n’est ni affilié à l’organisme qui organise cet examen ni approuvé par lui, et le nom de l’examen sert uniquement à décrire le contenu. CFA® and Chartered Financial Analyst® sont des marques de CFA Institute, qui n’est pas affilié à ExamProblems, ne le cautionne pas et n’en garantit pas l’exactitude.