Tu as besoin de €40 000 dans 6 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €40 0005% / 4n = 6
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €20 000 est remboursé par mensualités égales sur 3 ans. Le taux d'intérêt est de 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €20 0004,8% / 12N = 36
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €20 000, €17 000, €28 000. Le coût du capital est de 6 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €24 500, €17 000, €18 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 24 500CF2 = 17 000CF3 = 18 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 5 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 2%) quand son taux de rendement actuariel est de 5,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 6%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 2%n = 5y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €1 135. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €1 135
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 0,9 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,25. Elle prévoit de porter ce ratio à 1,25. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 5%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 29, 27, 40, 14, 50, 42.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 210 ?
μ = 170σ = 20x = 210
P =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 5 boules rouges et 5 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
5 / 5
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,4k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9736. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9736
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 75 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points75%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 13 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de −5,4 et un écart-type de 1,4. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.
n = 13d̄ = −5,4sd = 1,495%t(12) = 2,179
E = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 6 parcelles, rendement moyen 82,5 kg, écart-type 8,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 11 parcelles, moyenne 94,5 kg, écart-type 10 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
6 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 1,51 et l’écart-type des différences 4,1. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 6d̄ = 1,51sd = 4,1
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 1 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 6. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 12 ?
n = 5ŷ = 12
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 29688 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·6 = 24
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,347 = €29 687,88
Réponse
PV = €29 687,88
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 597,6 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 20 000·0,004/(1 − 0,8661) = €597,62
Réponse
A = €597,62
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2493 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 20 000/1,06 = 18 867,92
CF2/(1 + 0,06)2 = 17 000/1,124 = 15 129,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 28 000/1,191 = 23 509,34
Additionner
NPV = €−2 492,80
Réponse
NPV = €−2 492,80
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 24,91 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 2 928,24
NPV(25%) = −48,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 135 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Résoudre numériquement
P(1%) = €1 134,56, P(1%) = €1 134,56
YTM = 0,994%
Réponse
YTM = 0,994%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 4,036 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143
WACC
WACC = 0,2857·8% + 0,7143·3,5%·(1 − 0,3) = 4,036%
Réponse
WACC = 4,036%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 8,342 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 0,9/(1 + 0,75·0,25) = 0,7579
Réendetter au nouveau D/E
βL = 0,7579·(1 + 0,75·1,25) = 1,468
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,468·5% = 8,342%
Réponse
re = 8,342%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 12,88
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 2
Table de la loi normale
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Réponse
P = 0,9772
11.Probabilités
Réponse: P = 0,2222
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222
Réponse
P = 0,2222
12.Probabilités
Réponse: P = 0,1209
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formule binomiale
P(X = 2) = 45·0,42·0,68 = 45·0,16·0,0168 = 0,1209
Réponse
P = 0,1209
13.Loi normale
Réponse: z = 2,22
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,9736)/2 = 0,9868
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9868 dans la table et lisez z.
z = 2,22
Réponse
z = 2,22
14.Loi normale
Réponse: x = 71,7 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,75
z d’après la table
z ≈ 0,67
Retour aux unités d’origine
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 points
Réponse
x = 71,7 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 0,8461 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 12, t = 2,179
Marge d'erreur
E = 2,179·1,4/√13 = 0,8461
Réponse
E = 0,8461 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: E = 8,475 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (5·8,5² + 10·10²)/15 = 90,75
sp = 9,526
Marge d'erreur
E = 1,753·9,526·√(1/6 + 1/11) = 8,475
Réponse
E = 8,475 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 0,9021
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 4,1/√6 = 1,674
Statistique de test
t = 1,51/1,674 = 0,9021
Réponse
t = 0,9021
Avec df = 5, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,571 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 568
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((2,326 + 1,645)·6/1)² = 567,7
Arrondir vers le haut
n = 568
Réponse
n = 568
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9616
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 252/5 = 50,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
Syy = Σ(y − ȳ)² = 281,2
Coefficient de détermination
r² = 52²/(10·281,2) = 0,9616
Réponse
r² = 0,9616
Environ 96,16 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 2,964
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 123/5 = 24,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166
Droite de régression
b = 166/40 = 4,15
a = 24,6 − 4,15·6 = −0,3
ŷ = −0,3 + 4,15·x
Résoudre pour x
x = (12 − (−0,3))/4,15 = 2,964
Réponse
x = 2,964
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