Vous placez €5 000 à 6 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 13 ans.
PV = €5 000r = 6%t = 13
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €50 000 dans 4 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €50 0003% / 12N = 48
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 8 ans et coûte €2 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 5 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €2 000n = 8r = 5%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Son flux vaut €25 000 à la fin de l’année 1 et croît de 3 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 8. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €200 000CF1 = €25 000g = 3%n = 8r = 8%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 5 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €957 quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 5P = €957YTM = 5%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €970. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 3P = €970
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €10 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €19,50 chacune et 20 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4,5% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 1,8, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 8%. Trouvez le WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 8%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 48, 41, 33, 30, 57, 37, 44.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 95.
μ = 100σ = 5x = 95
z =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 3 personnes parmi un groupe de 8 ? L'ordre ne compte pas.
n = 8k = 3
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 12 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 1 bonnes réponses ?
n = 12p = 0,5k = 1
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 442 et 542 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 442x2 = 542
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 97,5 % des valeurs (le 97,5e centile).
μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 108,5 h, écart-type connu 17 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 110,5 h, écart-type connu 7 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 28. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 28E = 399%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 74,1 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 74,1s = 4n = 64
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 190%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 108 ?
n = 5ŷ = 108
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 10907 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,06·13 = 0,78
e0,78 = 2,181
Valeur future
FV = 5 000·2,181 = €10 907,36
Réponse
FV = €10 907,36
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 981,7 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Prix d’achat annualisé
20 000/6,463 = 3 094,44
EAC
EAC = 3 094,44 + 2 000 = €5 094,44
Réponse
EAC = €5 094,44
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −42198 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 4,007 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,05)−5 = €783,53
Coupon
C = (957 − 783,53)/4,329 = €40,07
Taux du coupon
c = 40,07/1000 = 4,007%
Réponse
c = 4,007%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 4,083 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€970 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Résoudre numériquement
P(4%) = €972,25, P(5%) = €945,54
YTM = 4,083%
Réponse
YTM = 4,083%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 13,07 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (95 − 100)/5 = −1
Réponse
z = −1
11.Probabilités
Réponse: N = 56
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
Réponse
N = 56
12.Probabilités
Réponse: P = 0,00293
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Retour à x
x = 65 + 1,96·10 = 84,6 points
Réponse
x = 84,6 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 3,096 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 108,5 − 110,5 = −2
Erreur type
SE = √(17²/50 + 7²/50) = 2,6
Marge d'erreur
E = 1,96·2,6 = 5,096
Intervalle
−2 ± 5,096 → [−7,096, 3,096]
Réponse
borne supérieure = 3,096 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 579
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·28/3)² = 578
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 579
Réponse
n = 579
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,8
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Statistique de test
t = (74,1 − 75)/0,5 = −1,8
Réponse
t = −1,8
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 609
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,645·15/1)² = 608,9
Arrondir vers le haut
n = 609
Réponse
n = 609
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9168
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 383/6 = 63,83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 225
Syy = Σ(y − ȳ)² = 788,8
Coefficient de détermination
r² = 225²/(70·788,8) = 0,9168
Réponse
r² = 0,9168
Environ 91,68 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 9
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 441/5 = 88,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264
Droite de régression
b = 264/40 = 6,6
a = 88,2 − 6,6·6 = 48,6
ŷ = 48,6 + 6,6·x
Résoudre pour x
x = (108 − 48,6)/6,6 = 9
Réponse
x = 9
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