Tu places €2 000 à un taux nominal de 4,8 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 6 ans.
PV = €2 0004,8% / 4n = 6
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €1 000 au début de chaque année pendant 23 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 7 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 23 ? Trouvez FV.
A = €1 000i = 7%n = 23
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €7 000, €11 000, €8 000, €12 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €10 000 et rapporte €6 500, €5 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% et arrive à échéance dans 9 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 2,5% à 1,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 3%n = 9y1 = 2,5%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €940. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €29,00 chacune et 40 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 5,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 1%rm = 5,5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 42, 10, 43, 21, 50.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 25. Trouve le score z z d'une note de 510.
μ = 500σ = 25x = 510
z =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 8 boules rouges et 8 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
8 / 8
P =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 5 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 5p = 0,5
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 32 et 44,3 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 44,3
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 97,5 % des valeurs (le 97,5e centile).
μ = 32σ = 6P = 97,5%
x = min
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 10 éléments a une moyenne de 77,5 et un écart-type s = 19,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 10x̄ = 77,5s = 19,590%t(9) = 1,833
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 22. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 22E = 190%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 209,7 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 209,7s = 20n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ < 100 est réalisé au seuil α = 0.10 avec un échantillon de 25 ; l’écart-type est connu et vaut 5. En réalité, la moyenne vaut 98.4. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.
μ₀ = 100μ = 98,4σ = 5n = 25α = 0,10
β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 50 ?
n = 6ŷ = 50
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 2663 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,07)23 − 1)/0,07 = 53,44
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 1 000·53,44·1,07 = €57 176,67
Réponse
FV = €57 176,67
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −3474 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 7 000/1,15 = 6 086,96
CF2/(1 + 0,15)2 = 11 000/1,322 = 8 317,58
CF3/(1 + 0,15)3 = 8 000/1,521 = 5 260,13
CF4/(1 + 0,15)4 = 12 000/1,749 = 6 861,04
Additionner
NPV = €−3 474,29
Réponse
NPV = €−3 474,29
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 13,47 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(10%) = 454,55
NPV(15%) = −189,04
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−189,04)) = 13,53%
exact: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%
Réponse
IRR = 13,47%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = 85,55 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(8%) = €960,07, P(9%) = €922,21
YTM = 8,524%
Réponse
YTM = 8,524%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 11,63 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·14% + 0,25·6%·(1 − 0,25) = 11,63%
Réponse
WACC = 11,63%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,233 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 000 000·€29,00 = €58 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,3·4,5% = 6,85%
Pondérations
V = €100 000 000, E/V = 0,58, D/V = 0,42
WACC
WACC = 0,58·6,85% + 0,42·4%·(1 − 0,25) = 5,233%
Réponse
WACC = 5,233%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 16,9
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (510 − 500)/25 = 0,4
Réponse
z = 0,4
11.Probabilités
Réponse: P = 0,2333
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333
Réponse
P = 0,2333
12.Probabilités
Réponse: P = 0,1875
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,55 = 0,03125
P(X = 1) = 5·0,5·0,54 = 0,1563
Les additionner
P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875
Réponse
P = 0,1875
13.Loi normale
Réponse: P = 0,4798
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798
Réponse
P = 0,4798
14.Loi normale
Réponse: x = 43,76 min
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Retour à x
x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min
Réponse
x = 43,76 min
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 11,3
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Marge d'erreur
E = 1,833·19,5/√10 = 11,3
Réponse
E = 11,3
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1310
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·22/1)² = 1310
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1310
Réponse
n = 1310
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,91
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Statistique de test
t = (209,7 − 200)/3,333 = 2,91
Réponse
t = 2,91
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: β = 37,52 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 100 − 1,282·1 = 98,72
z avec la vraie moyenne
z = (98,72 − 98,4)/1 = 0,318
Erreur de deuxième espèce
puissance = P(Z < 0.318) = 62.48%
β = 100% − 62,48% = 37,52%
Réponse
β = 37,52%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9017
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
Syy = Σ(y − ȳ)² = 49,2
Coefficient de corrélation
r = −20/√(10·49,2) = −0,9017
Réponse
r = −0,9017
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 5,079
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 354/6 = 59
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 328
Droite de régression
b = 328/70 = 4,686
a = 59 − 4,686·7 = 26,2
ŷ = 26,2 + 4,686·x
Résoudre pour x
x = (50 − 26,2)/4,686 = 5,079
Réponse
x = 5,079
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