Tu as besoin de €40 000 dans 7 ans. Un compte rapporte 2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €40 0002% / 12n = 7
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €10 000 est remboursé par mensualités constantes sur 6 ans à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €10 0003% / 12N = 72
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €32 000, €24 000, €18 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €14 000, €14 000, €11 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 14 000CF3 = 11 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 3 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%) quand son taux de rendement actuariel est de 5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 4,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 3y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Elle se vend €1 177. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6% (2×)n = 11P = €1 177
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions à €43,00 chacune et 10 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 6,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,2rf = 1%rm = 6,5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 44, 59, 10, 13, 39, 49, 29.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 173 ?
μ = 170σ = 5x = 173
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,15, 0,2, 0,25
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 2 € pour jouer. Vous gagnez 6 € avec la probabilité 0,15 et 40 € avec la probabilité 0,02 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €2€6: p = 0,15€40: p = 0,02
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9312. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9312
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 99 % des valeurs (le 99e centile).
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 59,5 et un écart-type s = 1,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 9x̄ = 59,5s = 1,595%t(8) = 2,306
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 28. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
σ = 28E = 1,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 7 étudiants, note moyenne 24,5, écart-type 10,5. Groupe 2 : 14 étudiants, note moyenne 18,7, écart-type 10,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 30 patients sur 200 sous traitement A guérissent, et 14 sur 120 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 14n₂ = 120
z =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 30,5.
n = 6x = 30,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 34778 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·7 = 84
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,15 = €34 778,38
Réponse
PV = €34 778,38
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 939,4 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,0025, N = 72
A = 10 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−72) = €151,94
Total des intérêts
I = N·A − P = 72·151,9 − 10 000 = €939,45
Réponse
I = €939,45
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −9438 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 32 000/1,07 = 29 906,54
CF2/(1 + 0,07)2 = 24 000/1,145 = 20 962,53
CF3/(1 + 0,07)3 = 18 000/1,225 = 14 693,36
Additionner
NPV = €−9 437,57
Réponse
NPV = €−9 437,57
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 27,21 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 792,00
NPV(30%) = −939,92
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 25 + 5·792,00/(792,00 − (−939,92)) = 27,29%
exact: NPV(27,21%) = 0 → IRR = 27,21%
Réponse
IRR = 27,21%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 5,913 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, N = 22
Résoudre numériquement
i = 1,998% par semestre
YTM
YTM = 2·1,998% = 3,996%
Réponse
YTM = 3,996%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,029 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,6
Table de la loi normale
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Réponse
P = 0,2743
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 2,348
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 4 (p = 0,15), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)
Espérance
E(G) = 4·0,15 + 38·0,02 − 2·0,83 = −0,3 €
Réponse
E(G) = −0,3 €
Une valeur négative signifie que vous perdez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: z = 1,82
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,9312)/2 = 0,9656
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9656 dans la table et lisez z.
z = 1,82
Réponse
z = 1,82
14.Loi normale
Réponse: x = 261,6 g
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Retour à x
x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g
Réponse
x = 261,63 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 1,153
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Marge d'erreur
E = 2,306·1,5/√9 = 1,153
Réponse
E = 1,153
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 2313
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·28/1,5)² = 2312
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 2313
Réponse
n = 2313
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,193
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (6·10,5² + 13·10,5²)/19 = 110,3
sp = 10,5
Erreur type
SE = 10,5·√(1/7 + 1/14) = 4,861
Statistique de test
t = (24,5 − 18,7)/4,861 = 1,193
Réponse
t = 1,193
Avec df = 19, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,093 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 0,8383
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 30/200 = 0,15
p̂₂ = 14/120 = 0,1167
p̂ = 44/320 = 0,1375
Erreur type sous H₀
SE = √(0,1375·0,8625·(1/200 + 1/120)) = 0,03976
Statistique de test
z = (0,15 − 0,1167)/0,03976 = 0,8383
Réponse
z = 0,8383
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9541
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 1602 − 25·296/5 = 122
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 17932 − 296²/5 = 408,8
Coefficient de corrélation
r = 122/√(40·408,8) = 0,9541
Réponse
r = 0,9541
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 85,69
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 390/6 = 65
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 543
Droite de régression
b = 543/157,5 = 3,448
a = 65 − 3,448·24,5 = −19,47
ŷ = −19,47 + 3,448·x
Prédiction
ŷ = −19,47 + 3,448·30,5 = 85,69
Réponse
ŷ = 85,69
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