Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 20 % par an, capitalisé semestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 20%m = 2
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €200 à la fin de chaque mois pendant 10 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €2003,6% / 12N = 120
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €30 000 aujourd’hui, dure 7 ans et coûte €1 500 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €30 000M = €1 500n = 7r = 6%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 et rapporte €35 000, €34 000, €31 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 35 000CF2 = 34 000CF3 = 31 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% et arrive à échéance dans 12 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5,5% à 3,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 4%n = 12y1 = 5,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €905. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 8P = €905
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €47,00 chacune et 10 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 8%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 8%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 56, 45, 27, 49, 43, 13, 14.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 50. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 450 ?
μ = 500σ = 50x = 450
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 14 ? L'ordre ne compte pas.
n = 14k = 4
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 7 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?
n = 7p = 0,2k = 3
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,8664. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,8664
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 70 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points70%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 30 éléments a une moyenne de 78 et un écart-type s = 1. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 30x̄ = 78s = 190%t(29) = 1,699
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 7. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 7E = 0,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 60 pièces a une longueur moyenne de 112 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 15 mm. Ligne 2 : un échantillon de 80 pièces a une moyenne de 120 mm, écart-type connu 14 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 10. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 10E = 0,595%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 5Σx = 20Σy = 304Σx² = 90Σy² = 18568Σxy = 1244
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 12 ?
n = 6ŷ = 12
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 21 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,2/2 = 0,1
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,1)2 − 1 = 1,21 − 1 = 21%
Réponse
EAR = 21%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 28837 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €24 000 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 6874 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−7)/0,06 = 5,582
Prix d’achat annualisé
30 000/5,582 = 5 374,05
EAC
EAC = 5 374,05 + 1 500 = €6 874,05
Réponse
EAC = €6 874,05
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 46,08 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(45%) = 641,68
NPV(50%) = −2 222,22
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€905 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(5%) = €935,37, P(6%) = €875,80
YTM = 5,5%
Réponse
YTM = 5,5%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,161 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·8% + 0,4286·5%·(1 − 0,258) = 6,161%
Réponse
WACC = 6,161%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,159 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 1 000 000·€47,00 = €47 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,3·4% = 9,2%
Pondérations
V = €57 500 000, E/V = 0,8174, D/V = 0,1826
WACC
WACC = 0,8174·9,2% + 0,1826·5%·(1 − 0,3) = 8,159%
Réponse
WACC = 8,159%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 17,27
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1
Table de la loi normale
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
11.Probabilités
Réponse: N = 1001
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
Réponse
N = 1001
12.Probabilités
Réponse: P = 0,1147
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,8664)/2 = 0,9332
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9332 dans la table et lisez z.
z = 1,50
Réponse
z = 1,50
14.Loi normale
Réponse: x = 70,2 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,7
z d’après la table
z ≈ 0,52
Retour aux unités d’origine
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 points
Réponse
x = 70,2 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 77,69
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Marge d'erreur
E = 1,699·1/√30 = 0,3102
Intervalle
78 ± 0,3102 → [77,69, 78,31]
Réponse
borne inférieure = 77,69
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1301
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·7/0,5)² = 1301
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1301
Réponse
n = 1301
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −3,213
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(15²/60 + 14²/80) = √6,2 = 2,49
Statistique de test
z = (112 − 120)/2,49 = −3,213
Réponse
z = −3,213
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 1537
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,96·10/0,5)² = 1537
Arrondir vers le haut
n = 1537
Réponse
n = 1537
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9615
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 1244 − 20·304/5 = 28
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 18568 − 304²/5 = 84,8
Coefficient de corrélation
r = 28/√(10·84,8) = 0,9615
Réponse
r = 0,9615
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 5,559
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51
Droite de régression
b = −51/17,5 = −2,914
a = 18 − (−2,914)·3,5 = 28,2
ŷ = 28,2 − 2,914·x
Résoudre pour x
x = (12 − 28,2)/(−2,914) = 5,559
Réponse
x = 5,559
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