Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €8 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 3,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €200 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 10 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €200 0004,8% / 12N = 300k = 120
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €100 000 aujourd’hui. Elle génère €18 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans et peut ensuite être revendue €20 000. Le coût du capital est de 6 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF = €18 500S = €20 000n = 6r = 6%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €9 000, €16 500, €12 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 16 500CF3 = 12 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 7 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €900. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 7P = €900
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1,5. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 2% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 1,5T = 20%rf = 2%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 15, 59, 50, 39, 45.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 64,8 ?
μ = 60σ = 8x = 64,8
P =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 5 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 5
P =
12.ProbabilitésDifficile
X a la loi indiquée, et Y = 3X + 1. Trouvez l’écart-type σY de Y.
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Quelle proportion se situe entre 174,85 et 192 cm ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 192
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 25 % des valeurs (le 25e centile).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 13 éléments a une moyenne de 30,5 et un écart-type s = 16,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 13x̄ = 30,5s = 16,595%t(12) = 2,179
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 25 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 4,1 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 24, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 12,401 et 2,5 % au-dessus de 39,364.
n = 25s = 4,1 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 10 étudiants, note moyenne 85, écart-type 9,5. Groupe 2 : 11 étudiants, note moyenne 94,7, écart-type 2. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 10x̄₁ = 85s₁ = 9,5n₂ = 11x̄₂ = 94,7s₂ = 2
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 78,4. L'écart-type de la population est 20. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 78,4σ = 20n = 4995%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (3, 8). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(3, 8)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 400000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 300 − 120 = 180
B = 1146·(1 − (1 + 0,004)−180)/0,004 = €146 844,28
Réponse
B = €146 844,28
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 5070 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 1 192,13
NPV(25%) = −840,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, i = 0,04, N = 14
Valeur actuelle des coupons
€25,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €264,08
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5775 = €577,48
Prix
P = €841,55
Réponse
P = €841,55
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 8,986 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€900 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Résoudre numériquement
P(8%) = €947,94, P(9%) = €899,34
YTM = 8,986%
Réponse
YTM = 8,986%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,375 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 8,375%
Réponse
WACC = 8,375%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 14,87 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,8·1,5) = 1,98
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2% + 1,98·6,5% = 14,87%
Réponse
re = 14,87%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 16,58
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,6
Table de la loi normale
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Réponse
P = 0,7257
11.Probabilités
Réponse: P = 0,5981
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Réponse
P = 0,5981
12.Probabilités
Réponse: σY = 4,973
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 2,95, Var(X) = 2,747, σX = 1,658
Changement linéaire
σY = |3|·1,658 = 4,973
Réponse
σY = 4,973
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 3·2,95 + 1 = 9,85.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,6509
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (192 − 178)/7 = 2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(2) − Φ(−0,45) = 0,9772 − 0,3264 = 0,6509
Réponse
P = 0,6509
14.Loi normale
Réponse: x = 58,26 points
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Retour à x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 points
Réponse
x = 58,26 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 9,972
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Marge d'erreur
E = 2,179·16,5/√13 = 9,972
Réponse
E = 9,972
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 5,704 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 24·4,1² = 403,4
Bornes pour σ²
403,4/39,364 = 10,25
403,4/12,401 = 32,53
Borne pour σ
σ = √32,53 = 5,704 µm
Réponse
σ = 5,704 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [3,201, 5,704] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,315
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (9·9,5² + 10·2²)/19 = 44,86
sp = 6,697
Erreur type
SE = 6,697·√(1/10 + 1/11) = 2,926
Statistique de test
t = (85 − 94,7)/2,926 = −3,315
Réponse
t = −3,315
Avec df = 19, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,093 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 84
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,96·20/√49 = 5,6
Borne de l'intervalle
U = 78,4 + 5,6 = 84
Réponse
U = 84
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,985
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 478/6 = 79,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
Syy = Σ(y − ȳ)² = 409,3
Coefficient de détermination
r² = 84²/(17,5·409,3) = 0,985
Réponse
r² = 0,985
Environ 98,5 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −1,557
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 129/6 = 21,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209
Droite de régression
b = 209/70 = 2,986
a = 21,5 − 2,986·7 = 0,6
ŷ = 0,6 + 2,986·x
Valeur prédite
ŷ = 0,6 + 2,986·3 = 9,557
Résidu
e = 8 − 9,557 = −1,557
Réponse
e = −1,557
Le point se trouve en dessous de la droite.
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