Vous placez €5 000 à 7 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 8 ans.
PV = €5 000r = 7%t = 8
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités égales sur 3 ans. Le taux d'intérêt est de 6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €15 0006% / 12N = 36
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €11 000, €7 000, €8 000, €9 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €12 500, €10 000, €15 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 10 000CF3 = 15 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 5 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5% à 5,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 5y1 = 5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Elle se vend €1 231. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8% (2×)n = 5P = €1 231
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 0,8 a un rendement exigé de 8,4%. Le taux sans risque est de 4%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 0,8re = 8,4%rf = 4%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €10 000 000 et un coût des capitaux propres de 13%. Sa dette se compose de 2 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%, 10 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 074 chacune. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 11, 23, 33, 32, 14, 56, 21.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 100. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 420 ?
μ = 500σ = 100x = 420
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 11 ? L'ordre ne compte pas.
n = 11k = 5
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 7 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,3, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 1 bonnes réponses ?
n = 7p = 0,3k = 1
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 23 et 39,2 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 23x2 = 39,2
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 75 h, écart-type connu 5 h. Modèle 2 : 80 téléphones, moyenne 70 h, écart-type connu 20 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
Les diamètres de 16 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 5,5 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 15, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 6,262 et 2,5 % au-dessus de 27,488.
n = 16s = 5,5 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 201,1 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,1s = 8n = 81
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 25 mesures a une moyenne de 50,4. L'écart-type de la population est 20. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 50,4σ = 20n = 2590%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (19,5, 100). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(19,5, 100)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 8753 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,07·8 = 0,56
e0,56 = 1,751
Valeur future
FV = 5 000·1,751 = €8 753,36
Réponse
FV = €8 753,36
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 456,3 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8356
A = 15 000·0,005/(1 − 0,8356) = €456,33
Réponse
A = €456,33
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2057 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 11 000/1,1 = 10 000,00
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 8 000/1,331 = 6 010,52
CF4/(1 + 0,1)4 = 9 000/1,464 = 6 147,12
Additionner
NPV = €−2 057,24
Réponse
NPV = €−2 057,24
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 23,26 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 1 331,02
NPV(25%) = −664,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, N = 10
Résoudre numériquement
i = 1,496% par semestre
YTM
YTM = 2·1,496% = 2,991%
Réponse
YTM = 2,991%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 9,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (8,4% − 4%)/0,8 = 5,5%
Rendement du marché
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Réponse
rm = 9,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 11,44 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Réponse
P = 0,7881
11.Probabilités
Réponse: N = 462
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462
Réponse
N = 462
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2471
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formule binomiale
P(X = 1) = 7·0,31·0,76 = 7·0,3·0,1176 = 0,2471
Réponse
P = 0,2471
13.Loi normale
Réponse: P = 0,8181
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5
z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1,2) − Φ(−1,5) = 0,8849 − 0,06681 = 0,8181
Réponse
P = 0,8181
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9633
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Réponse
P = 0,9633
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 10,9 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 75 − 70 = 5
Erreur type
SE = √(5²/100 + 20²/80) = 2,291
Marge d'erreur
E = 2,576·2,291 = 5,902
Intervalle
5 ± 5,902 → [−0,9024, 10,9]
Réponse
borne supérieure = 10,9 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 8,512 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 15·5,5² = 453,8
Bornes pour σ²
453,8/27,488 = 16,51
453,8/6,262 = 72,46
Borne pour σ
σ = √72,46 = 8,512 µm
Réponse
σ = 8,512 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [4,063, 8,512] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,237
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Statistique de test
t = (201,1 − 200)/0,8889 = 1,237
Réponse
t = 1,237
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 56,98
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·20/√25 = 6,58
Borne de l'intervalle
U = 50,4 + 6,58 = 56,98
Réponse
U = 56,98
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9313
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 107/6 = 17,83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 110,8
Coefficient de détermination
r² = −42,5²/(17,5·110,8) = 0,9313
Réponse
r² = 0,9313
Environ 93,13 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 4,15
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 521/5 = 104,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 501
Droite de régression
b = 501/90 = 5,567
a = 104,2 − 5,567·21 = −12,7
ŷ = −12,7 + 5,567·x
Valeur prédite
ŷ = −12,7 + 5,567·19,5 = 95,85
Résidu
e = 100 − 95,85 = 4,15
Réponse
e = 4,15
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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