Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 17,5 % par an, capitalisé semestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 17,5%m = 2
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités égales sur 30 ans. Le taux d'intérêt est de 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €150 0002,4% / 12N = 360
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €13 000, €11 000, €8 000. Le coût du capital est de 12 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €10 000 et rapporte €6 000, €6 500, €4 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 6 500CF3 = 4 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 6 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4,5%) quand son taux de rendement actuariel est de 8%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 9%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 6y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €810. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 10P = €810
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €10 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €13,50 chacune et 40 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 11, 57, 54, 51, 50, 33, 32.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 37,5 ?
μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,3, 0,25, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,25k = 3
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9676. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9676
z =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,015 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,02 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 éléments a une moyenne de 104,5 et un écart-type s = 11. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 25x̄ = 104,5s = 1195%t(24) = 2,064
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 30. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 30E = 395%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 100 pièces a une longueur moyenne de 80 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 6 mm. Ligne 2 : un échantillon de 100 pièces a une moyenne de 82,6 mm, écart-type connu 7 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2,5 ? L'écart-type est 12. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 12E = 2,595%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 23,5.
n = 6x = 23,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 18,27 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,175/2 = 0,0875
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,0875)2 − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%
Réponse
EAR = 18,27%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 584,9 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·30 = 360
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,4871
A = 150 000·0,002/(1 − 0,4871) = €584,91
Réponse
A = €584,91
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −3929 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 13 000/1,12 = 11 607,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 11 000/1,254 = 8 769,13
CF3/(1 + 0,12)3 = 8 000/1,405 = 5 694,24
Additionner
NPV = €−3 929,48
Réponse
NPV = €−3 929,48
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 32,12 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 282,20
NPV(35%) = −363,26
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 30 + 5·282,20/(282,20 − (−363,26)) = 32,19%
exact: NPV(32,12%) = 0 → IRR = 32,12%
Réponse
IRR = 32,12%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 3,79 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Résoudre numériquement
P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20
YTM = 5,524%
Réponse
YTM = 5,524%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 11,55 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·13% + 0,1667·6%·(1 − 0,28) = 11,55%
Réponse
WACC = 11,55%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 3,793 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,5
Table de la loi normale
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Réponse
P = 0,9332
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 4,11
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,1 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,35 = 3,7
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,1 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,35 = 17,8
Variance
Var(X) = 17,8 − 3,7² = 4,11
Réponse
Var(X) = 4,11
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2503
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,9676)/2 = 0,9838
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9838 dans la table et lisez z.
z = 2,14
Réponse
z = 2,14
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9452
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Réponse
P = 0,9452
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 99,96
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Marge d'erreur
E = 2,064·11/√25 = 4,541
Intervalle
104,5 ± 4,541 → [99,96, 109]
Réponse
borne inférieure = 99,96
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 385
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·30/3)² = 384,2
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 385
Réponse
n = 385
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −2,82
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(6²/100 + 7²/100) = √0,85 = 0,922
Statistique de test
z = (80 − 82,6)/0,922 = −2,82
Réponse
z = −2,82
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 89
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,96·12/2,5)² = 88,51
Arrondir vers le haut
n = 89
Réponse
n = 89
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9396
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 297/5 = 59,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Syy = Σ(y − ȳ)² = 283,2
Coefficient de corrélation
r = 100/√(40·283,2) = 0,9396
Réponse
r = 0,9396
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 124,2
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 745/6 = 124,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 985,5
Droite de régression
b = 985,5/157,5 = 6,257
a = 124,2 − 6,257·23,5 = −22,88
ŷ = −22,88 + 6,257·x
Prédiction
ŷ = −22,88 + 6,257·23,5 = 124,2
Réponse
ŷ = 124,2
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