Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €5 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 6,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €5 000g = 1,5%r = 6,5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €1 000 au début de chaque année pendant 13 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 3 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 13 ? Trouvez FV.
A = €1 000i = 3%n = 13
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €28 000, €16 000, €22 000, €14 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €9 000, €14 000, €14 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 14 000CF3 = 14 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% et arrive à échéance dans 15 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 9% à 10%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 7%n = 15y1 = 9%y2 = 10%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 15 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 288. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%P = €1 288prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 6 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €3 000 000 et une dette valant €2 000 000. Son WACC est de 9,29%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €46,50 chacune et 40 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,5, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 5,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 5,5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 41, 35, 10, 52, 24, 27, 47.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 67,5.
μ = 70σ = 5x = 67,5
z =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 4 boules rouges et 4 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
4 / 4
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 12 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?
n = 12p = 0,7k = 5
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9371. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9371
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 97,5 % des valeurs (le 97,5e centile).
μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 100 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 4,9. Quelle est la marge d’erreur E₂ si la même étude utilise 200 observations à la place ?
99%n₁ = 100E₁ = 4,9n₂ = 200
E₂ =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 15. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2 ?
σ = 15E = 290%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 500,8 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500,8s = 4n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 25 mesures a une moyenne de 120,8. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 120,8σ = 10n = 2599%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 18 ?
n = 6ŷ = 18
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 100000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,03)13 − 1)/0,03 = 15,62
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 1 000·15,62·1,03 = €16 086,32
Réponse
FV = €16 086,32
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 8782 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 28 000/1,07 = 26 168,22
CF2/(1 + 0,07)2 = 16 000/1,145 = 13 975,02
CF3/(1 + 0,07)3 = 22 000/1,225 = 17 958,55
CF4/(1 + 0,07)4 = 14 000/1,311 = 10 680,53
Additionner
NPV = €8 782,33
Réponse
NPV = €8 782,33
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 35,13 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(35%) = 38,61
NPV(40%) = −1 326,53
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 35 + 5·38,61/(38,61 − (−1 326,53)) = 35,14%
exact: NPV(35,13%) = 0 → IRR = 35,13%
Réponse
IRR = 35,13%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = −66,97 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1288 = 60·(1 − (1 + y)−6)/y + 1060/(1 + y)6
Résoudre numériquement
y = 1%: €1 346,30
y = 2%: €1 277,34
YTC = 1,841%
Réponse
YTC = 1,841%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 3,5%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 14 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Part de la dette dans le WACC
0,4·3%·(1 − 0,258) = 0,8904%
Coût des capitaux propres
re = (9,29% − 0,8904%)/0,6 = 14%
Réponse
re = 14%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,141 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (67,5 − 70)/5 = −0,5
Réponse
z = −0,5
11.Probabilités
Réponse: P = 0,2143
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Réponse
P = 0,2143
12.Probabilités
Réponse: P = 0,02911
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,9371)/2 = 0,9686
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9686 dans la table et lisez z.
z = 1,86
Réponse
z = 1,86
14.Loi normale
Réponse: x = 259,8 g
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Retour à x
x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g
Réponse
x = 259,8 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 3,465
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/200) = 0,7071
Nouvelle marge
E₂ = 4,9·0,7071 = 3,465
Réponse
E₂ = 3,465
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 153
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·15/2)² = 152,2
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 153
Réponse
n = 153
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,2
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Statistique de test
t = (500,8 − 500)/0,6667 = 1,2
Réponse
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 126
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 2,576·10/√25 = 5,152
Borne de l'intervalle
U = 120,8 + 5,152 = 126
Réponse
U = 126
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9929
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 503/6 = 83,83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 481
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3353
Coefficient de corrélation
r = 481/√(70·3353) = 0,9929
Réponse
r = 0,9929
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 10,74
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 75/6 = 12,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103
Droite de régression
b = 103/70 = 1,471
a = 12,5 − 1,471·7 = 2,2
ŷ = 2,2 + 1,471·x
Résoudre pour x
x = (18 − 2,2)/1,471 = 10,74
Réponse
x = 10,74
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