Tu places €20 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 8 ans.
PV = €20 0003,6% / 4n = 8
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €300 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 9 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €300 0004,8% / 12N = 300k = 108
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €21 000, €9 000, €10 000, €22 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €19 500, €29 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 19 500CF2 = 29 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 4%n = 3
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 9 ans et se vend €1 070. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 9P = €1 070
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €4 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions cotant €28,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €11 400 000. Elle vient de verser un dividende de €1,20 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €22 800 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 43, 46, 25, 58, 10, 17.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 40,4 ?
μ = 50σ = 12x = 40,4
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15
σ =
12.ProbabilitésDifficile
X a la loi indiquée, et Y = 5X − 3. Trouvez l’écart-type σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,3Y = 5X − 3
σY =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9700. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9700
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 10 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 112,5 et un écart-type s = 10. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 8x̄ = 112,5s = 1099%t(7) = 3,499
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 27. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 4 ?
σ = 27E = 499%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 206,3 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 206,3s = 12n = 16
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 80 patients sur 200 sous traitement A guérissent, et 56 sur 120 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 80n₁ = 200x₂ = 56n₂ = 120
z =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 26641 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 300 − 108 = 192
B = 1719·(1 − (1 + 0,004)−192)/0,004 = €230 064,89
Réponse
B = €230 064,89
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −780,1 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 21 000/1,15 = 18 260,87
CF2/(1 + 0,15)2 = 9 000/1,322 = 6 805,29
CF3/(1 + 0,15)3 = 10 000/1,521 = 6 575,16
CF4/(1 + 0,15)4 = 22 000/1,749 = 12 578,57
Additionner
NPV = €−780,10
Réponse
NPV = €−780,10
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 13,65 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(10%) = 2 107,44
NPV(15%) = −737,24
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,02, N = 6
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,888)/0,02 = €224,06
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,888 = €887,97
Prix
P = €1 112,03
Réponse
P = €1 112,03
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 5,972 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 070 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Résoudre numériquement
P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02
YTM = 5,972%
Réponse
YTM = 5,972%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,28 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·11% + 0,4·6%·(1 − 0,3) = 8,28%
Réponse
WACC = 8,28%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,655 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Réponse
P = 0,2119
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,062
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,15 = 2,15
Moyenne des carrés
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,75
Variance
Var(X) = 5,75 − 2,15² = 1,128
σ = √1,128 = 1,062
Réponse
σ = 1,062
12.Probabilités
Réponse: σY = 5,449
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 1,75, Var(X) = 1,188, σX = 1,09
Changement linéaire
σY = |5|·1,09 = 5,449
Réponse
σY = 5,449
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 5·1,75 − 3 = 5,75.
13.Loi normale
Réponse: z = 2,17
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,9700)/2 = 0,9850
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9850 dans la table et lisez z.
z = 2,17
Réponse
z = 2,17
14.Loi normale
Réponse: x = 551 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,9
z d’après la table
z ≈ 1,28
Retour aux unités d’origine
x = 500 + 1,28·40 = 551 h
Réponse
x = 551 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 124,9
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Marge d'erreur
E = 3,499·10/√8 = 12,37
Intervalle
112,5 ± 12,37 → [100,1, 124,9]
Réponse
borne supérieure = 124,9
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 303
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·27/4)² = 302,3
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 303
Réponse
n = 303
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,1
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Statistique de test
t = (206,3 − 200)/3 = 2,1
Réponse
t = 2,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,168
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 80/200 = 0,4
p̂₂ = 56/120 = 0,4667
p̂ = 136/320 = 0,425
Erreur type sous H₀
SE = √(0,425·0,575·(1/200 + 1/120)) = 0,05708
Statistique de test
z = (0,4 − 0,4667)/0,05708 = −1,168
Réponse
z = −1,168
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,971
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 134/6 = 22,33
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 29,33
Coefficient de corrélation
r = −22/√(17,5·29,33) = −0,971
Réponse
r = −0,971
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 43,5
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 261/6 = 43,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78,5
Droite de régression
b = 78,5/17,5 = 4,486
a = 43,5 − 4,486·4,5 = 23,31
ŷ = 23,31 + 4,486·x
Prédiction
ŷ = 23,31 + 4,486·4,5 = 43,5
Réponse
ŷ = 43,5
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