Une annuité verse €1 500 à la fin de chaque année pendant 16 ans. Le taux d’intérêt est de 6 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €1 500i = 6%n = 16
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €250 000 est remboursé par mensualités constantes sur 20 ans à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 4 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €250 0004,2% / 12N = 240k = 48
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €9 000, €7 000, €7 500, €4 000, €6 000 à la fin des années 1 à 5. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Le projet A coûte €10 000 et rapporte €6 000, €4 000, €2 000 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €15 000 et rapporte €4 000, €6 000, €8 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 7 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €1 065. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 8P = €1 065
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €12 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €15 000 000 et un coût des capitaux propres de 14%. Sa dette se compose de 4 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%, 4 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €966 chacune. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 22, 59, 18, 11, 45, 30, 24.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 78,75.
μ = 60σ = 15x = 78,75
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,1, 0,15, 0,2, 0,2
σ =
12.ProbabilitésDifficile
X a la loi indiquée, et Y = 2X + 4. Trouvez l’écart-type σY de Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05Y = 2X + 4
σY =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,3182. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,3182
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart type 7 cm. Faites glisser le seuil pour que les 40 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 106 et un écart-type s = 2. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 8x̄ = 106s = 290%t(7) = 1,895
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 39. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 39E = 390%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 98 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98s = 10n = 49
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1 ? L'écart-type est 8. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 8E = 195%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 6Σx = 42Σy = 148Σx² = 364Σy² = 4252Σxy = 1240
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (20, 57). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(20, 57)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 15159 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3936)/0,06 = 10,11
Valeur actuelle
PV = 1 500·10,11 = €15 158,84
Réponse
PV = €15 158,84
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: B = 215234 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 240 − 48 = 192
B = 1541·(1 − (1 + 0,0035)−192)/0,0035 = €215 233,52
Réponse
B = €215 233,52
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 2,784 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 9 000/1,05 = 8 571,43 → Σ = 8 571,43
année 2: 7 000/1,103 = 6 349,21 → Σ = 14 920,63
année 3: 7 500/1,158 = 6 478,78 → Σ = 21 399,42
Fraction de la dernière année
DPB = 2 + 5 079,37/6 478,78 = 2,784
Réponse
DPB = 2,784 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,533 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: r* = 5,567 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 6 000 = −2 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 000 = 6 000
TRI de la différence
NPVΔ(5%) = 92,32
NPVΔ(6%) = −69,08
r* = 5,567%
Réponse
r* = 5,567%
Vérification : à 5,567%, les deux VAN valent €972,77.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 947,2 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,04, N = 14
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €369,71
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5775 = €577,48
Prix
P = €947,18
Réponse
P = €947,18
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 4,995 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 065 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63
YTM = 4,995%
Réponse
YTM = 4,995%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,344 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941
WACC
WACC = 0,7059·8% + 0,2941·3%·(1 − 0,21) = 6,344%
Réponse
WACC = 6,344%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 12,21 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (78,75 − 60)/15 = 1,25
Réponse
z = 1,25
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,568
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 2,1, Var(X) = 3,39, σX = 1,841
Changement linéaire
σY = |2|·1,841 = 3,682
Réponse
σY = 3,682
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 2·2,1 + 4 = 8,2.
13.Loi normale
Réponse: z = 0,41
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,3182)/2 = 0,6591
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,6591 dans la table et lisez z.
z = 0,41
Réponse
z = 0,41
14.Loi normale
Réponse: x = 179,8 cm
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,6
z d’après la table
z ≈ 0,25
Retour aux unités d’origine
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Réponse
x = 179,8 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 107,3
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Marge d'erreur
E = 1,895·2/√8 = 1,34
Intervalle
106 ± 1,34 → [104,7, 107,3]
Réponse
borne supérieure = 107,3
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 458
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·39/3)² = 457,3
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 458
Réponse
n = 458
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,4
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Statistique de test
t = (98 − 100)/1,429 = −1,4
Réponse
t = −1,4
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 246
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,96·8/1)² = 245,9
Arrondir vers le haut
n = 246
Réponse
n = 246
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9943
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 1240 − 42·148/6 = 204
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4252 − 148²/6 = 601,3
Coefficient de corrélation
r = 204/√(70·601,3) = 0,9943
Réponse
r = 0,9943
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 2,033
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 367/6 = 61,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217
Droite de régression
b = 217/70 = 3,1
a = 61,17 − 3,1·22 = −7,033
ŷ = −7,033 + 3,1·x
Valeur prédite
ŷ = −7,033 + 3,1·20 = 54,97
Résidu
e = 57 − 54,97 = 2,033
Réponse
e = 2,033
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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