Vous placez €10 000 à 7 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 11 ans.
PV = €10 000r = 7%t = 11
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €5 000 au début de chaque année pendant 13 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 3 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 13 ? Trouvez FV.
A = €5 000i = 3%n = 13
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €40 000 aujourd’hui et rapporte €16 000, €14 000, €9 000, €16 000 à la fin des années 1 à 4. Le coût du capital est de 12 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €20 000, €23 000, €24 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 23 000CF3 = 24 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% et arrive à échéance dans 5 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 8% à 9,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 5%n = 5y1 = 8%y2 = 9,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 12 ans. Elle se vend €1 401. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7% (2×)n = 12P = €1 401
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €4 000 000, des actions privilégiées valant €2 000 000 et une dette valant €4 000 000. Le coût des capitaux propres est de 12%, le coût des actions privilégiées de 6,5% et le coût de la dette avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €12 000 000 et un coût des capitaux propres de 11%. Sa dette se compose de 2 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%, 6 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €932 chacune. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 20, 56, 19, 19, 23.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 44.
μ = 50σ = 12x = 44
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 2 € pour jouer. Vous gagnez 4 € avec la probabilité 0,25 et 20 € avec la probabilité 0,02 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €2€4: p = 0,25€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,8944. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,8944
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 60 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 15 éléments a une moyenne de 65 et un écart-type s = 8,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 15x̄ = 65s = 8,590%t(14) = 1,761
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 29. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
σ = 29E = 1,595%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 75,5 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,5s = 5n = 49
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 3 unités avec une puissance de 90 %. L’écart-type vaut 11. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 22,5.
n = 5x = 22,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 21598 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,07·11 = 0,77
e0,77 = 2,16
Valeur future
FV = 10 000·2,16 = €21 597,66
Réponse
FV = €21 597,66
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 80432 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,03)13 − 1)/0,03 = 15,62
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 5 000·15,62·1,03 = €80 431,62
Réponse
FV = €80 431,62
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 3,801 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 16 000/1,12 = 14 285,71 → Σ = 14 285,71
année 2: 14 000/1,254 = 11 160,71 → Σ = 25 446,43
année 3: 9 000/1,405 = 6 406,02 → Σ = 31 852,45
année 4: 16 000/1,574 = 10 168,29 → Σ = 42 020,74
Fraction de la dernière année
DPB = 3 + 8 147,55/10 168,29 = 3,801
Réponse
DPB = 3,801 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,063 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 29,86 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 3 008,00
NPV(30%) = −81,93
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, N = 24
Résoudre numériquement
i = 1,498% par semestre
YTM
YTM = 2·1,498% = 2,997%
Réponse
YTM = 2,997%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,02 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (44 − 50)/12 = −0,5
Réponse
z = −0,5
11.Probabilités
Réponse: σ = 2,234
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,15 + 6·0,3 = 3,1
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,15 + 36·0,3 = 14,6
Variance
Var(X) = 14,6 − 3,1² = 4,99
σ = √4,99 = 2,234
Réponse
σ = 2,234
12.Probabilités
Réponse: E(G) = −0,6 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 2 (p = 0,25), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)
Espérance
E(G) = 2·0,25 + 18·0,02 − 2·0,73 = −0,6 €
Réponse
E(G) = −0,6 €
Une valeur négative signifie que vous perdez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: z = −1,25
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,1056 dans la table et lisez z.
z = −1,25
Réponse
z = −1,25
14.Loi normale
Réponse: x = 510 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,6
z d’après la table
z ≈ 0,25
Retour aux unités d’origine
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Réponse
x = 510 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 3,865
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Marge d'erreur
E = 1,761·8,5/√15 = 3,865
Réponse
E = 3,865
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1436
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·29/1,5)² = 1436
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1436
Réponse
n = 1436
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 0,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Statistique de test
t = (75,5 − 75)/0,7143 = 0,7
Réponse
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 176
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((2,326 + 1,282)·11/3)² = 175
Arrondir vers le haut
n = 176
Réponse
n = 176
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9595
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 354/6 = 59
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91
Syy = Σ(y − ȳ)² = 514
Coefficient de corrélation
r = 91/√(17,5·514) = 0,9595
Réponse
r = 0,9595
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 64,65
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 350/5 = 70
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 321
Droite de régression
b = 321/90 = 3,567
a = 70 − 3,567·24 = −15,6
ŷ = −15,6 + 3,567·x
Prédiction
ŷ = −15,6 + 3,567·22,5 = 64,65
Réponse
ŷ = 64,65
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