Vous placez €2 000 à 7 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 12 ans.
PV = €2 000r = 7%t = 12
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €200 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 6 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 19 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €200 0006% / 12N = 300k = 228
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €9 000, €13 000, €13 000, €9 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €15 000, €8 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 8 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 7 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 17 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 243. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%P = €1 243prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,2 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,4. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 1,5% et la prime de risque du marché de 5%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 31, 13, 31, 10, 31, 19.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 78.
μ = 70σ = 20x = 78
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 12 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 12p = 0,25k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,8230. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,8230
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 25 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 90 % pour une moyenne, fondé sur 36 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 8,2. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 95 % obtenu avec les mêmes données ?
90%n₁ = 36E₁ = 8,295%
E₂ =
16.Intervalles de confianceDifficile
Une étude pilote suggère qu’environ 0,7 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,01 ?
p ≈ 0,7E = 0,0190%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 484,5 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 484,5s = 20n = 16
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 3 ? L'écart-type est 8. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 8E = 395%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (24,5, 96). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(24,5, 96)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 4633 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,07·12 = 0,84
e0,84 = 2,316
Valeur future
FV = 2 000·2,316 = €4 632,73
Réponse
FV = €4 632,73
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: B = 77754 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 300 − 228 = 72
B = 1289·(1 − (1 + 0,005)−72)/0,005 = €77 753,67
Réponse
B = €77 753,67
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 6414 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 9 000/1,08 = 8 333,33
CF2/(1 + 0,08)2 = 13 000/1,166 = 11 145,40
CF3/(1 + 0,08)3 = 13 000/1,26 = 10 319,82
CF4/(1 + 0,08)4 = 9 000/1,36 = 6 615,27
Additionner
NPV = €6 413,83
Réponse
NPV = €6 413,83
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 12,71 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(10%) = 661,16
NPV(15%) = −529,30
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 10 + 5·661,16/(661,16 − (−529,30)) = 12,78%
exact: NPV(12,71%) = 0 → IRR = 12,71%
Réponse
IRR = 12,71%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 947,2 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,04, N = 14
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €369,71
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5775 = €577,48
Prix
P = €947,18
Réponse
P = €947,18
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 1,998 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1243 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 1%: €1 299,76
y = 2%: €1 242,88
YTC = 1,998%
Réponse
YTC = 1,998%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 4,002%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,38 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·9% + 0,4·3,5%·(1 − 0,3) = 6,38%
Réponse
WACC = 6,38%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 8,702 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1,2/(1 + 0,742·0,4) = 0,9254
Réendetter au nouveau D/E
βL = 0,9254·(1 + 0,742·0,75) = 1,44
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 1,44·5% = 8,702%
Réponse
re = 8,702%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 9,752
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (78 − 70)/20 = 0,4
Réponse
z = 0,4
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 4,24
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,1 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,6
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,1 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,35 = 17,2
Variance
Var(X) = 17,2 − 3,6² = 4,24
Réponse
Var(X) = 4,24
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2323
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,8230)/2 = 0,9115
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9115 dans la table et lisez z.
z = 1,35
Réponse
z = 1,35
14.Loi normale
Réponse: x = 527 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,75
z d’après la table
z ≈ 0,67
Retour aux unités d’origine
x = 500 + 0,67·40 = 527 h
Réponse
x = 527 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 9,77
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/36) = 1,191
Nouvelle marge
E₂ = 8,2·1,191 = 9,77
Réponse
E₂ = 9,77
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 5683
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 1,645²·0,7·0,3/0,01² = 5683
Arrondir vers le haut
n = 5683
Réponse
n = 5683
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,1
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Statistique de test
t = (484,5 − 500)/5 = −3,1
Réponse
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 28
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,96·8/3)² = 27,32
Arrondir vers le haut
n = 28
Réponse
n = 28
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9865
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 802/6 = 133,7
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 897
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5249
Coefficient de corrélation
r = 897/√(157,5·5249) = 0,9865
Réponse
r = 0,9865
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 2,833
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 559/6 = 93,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 625,5
Droite de régression
b = 625,5/157,5 = 3,971
a = 93,17 − 3,971·24,5 = −4,133
ŷ = −4,133 + 3,971·x
Valeur prédite
ŷ = −4,133 + 3,971·24,5 = 93,17
Résidu
e = 96 − 93,17 = 2,833
Réponse
e = 2,833
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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