Tu as besoin de €50 000 dans 9 ans. Un compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €50 0003,6% / 12n = 9
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €75 000 dans 8 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €75 0004,2% / 12N = 96
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €6 000, €7 000, €7 000, €8 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €29 000, €18 500, €18 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 18 500CF3 = 18 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 6 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 8% à 10%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 6y1 = 8%y2 = 10%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €1 100. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 6P = €1 100
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions à €18,00 chacune et 5 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 25, 37, 48, 40, 19.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 60. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 575 ?
μ = 500σ = 60x = 575
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 8 ? L'ordre ne compte pas.
n = 8k = 5
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 8 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 8p = 0,5
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,4515. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,4515
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 10 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 100 pointsσ = 15 points10%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 40 téléphones, moyenne 55 h, écart-type connu 17 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 62,5 h, écart-type connu 3 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 10 parcelles, rendement moyen 80 kg, écart-type 9,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 89,5 kg, écart-type 3,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 80 pièces a une longueur moyenne de 72,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 19 mm. Ligne 2 : un échantillon de 50 pièces a une moyenne de 75,8 mm, écart-type connu 12 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 8. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 8E = 0,599%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 36180 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·9 = 108
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,382 = €36 180,06
Réponse
PV = €36 180,06
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 658,7 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 7 000/1,331 = 5 259,20
CF4/(1 + 0,1)4 = 8 000/1,464 = 5 464,11
Additionner
NPV = €1 962,98
Réponse
NPV = €1 962,98
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 33,25 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 1 675,01
NPV(35%) = −848,45
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 100 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Résoudre numériquement
P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17
YTM = 5,028%
Réponse
YTM = 5,028%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,523 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1,25
Table de la loi normale
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Réponse
P = 0,1056
11.Probabilités
Réponse: N = 56
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
Réponse
N = 56
12.Probabilités
Réponse: P = 0,03516
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,58 = 0,003906
P(X = 1) = 8·0,5·0,57 = 0,03125
Les additionner
P = 0,003906 + 0,03125 = 0,03516
Réponse
P = 0,03516
13.Loi normale
Réponse: z = 0,6
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,4515)/2 = 0,7257
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,7257 dans la table et lisez z.
z = 0,60
Réponse
z = 0,60
14.Loi normale
Réponse: x = 80,8 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,1
z d’après la table
z ≈ −1,28
Retour aux unités d’origine
x = 100 − 1,28·15 = 80,8 points
Réponse
x = 80,8 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −12,8 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 55 − 62,5 = −7,5
Erreur type
SE = √(17²/40 + 3²/100) = 2,705
Marge d'erreur
E = 1,96·2,705 = 5,301
Intervalle
−7,5 ± 5,301 → [−12,8, −2,199]
Réponse
borne inférieure = −12,8 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 2,643 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (9·9,5² + 5·3,5²)/14 = 62,39
sp = 7,899
Marge d'erreur
E = 2,977·7,899·√(1/10 + 1/6) = 12,14
Intervalle
−9,5 ± 12,14 → [−21,64, 2,643]
Réponse
borne supérieure = 2,643 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,214
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(19²/80 + 12²/50) = √7,393 = 2,719
Statistique de test
z = (72,5 − 75,8)/2,719 = −1,214
Réponse
z = −1,214
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 1699
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·8/0,5)² = 1699
Arrondir vers le haut
n = 1699
Réponse
n = 1699
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,8043
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 338/5 = 67,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 121,2
Coefficient de corrélation
r = 28/√(10·121,2) = 0,8043
Réponse
r = 0,8043
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 8,3
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 50/5 = 10
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68
Droite de régression
b = 68/40 = 1,7
a = 10 − 1,7·6 = −0,2
ŷ = −0,2 + 1,7·x
Prédiction
ŷ = −0,2 + 1,7·5 = 8,3
Réponse
ŷ = 8,3
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