Vous placez €20 000 à 6 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 7 ans.
PV = €20 000r = 6%t = 7
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €250 000 est remboursé par mensualités égales sur 25 ans. Le taux d'intérêt est de 4,2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €250 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €8 000, €5 000, €9 000. Le coût du capital est de 9 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €11 500, €18 500, €11 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 18 500CF3 = 11 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 9 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €750 quand le taux de rendement actuariel est de 8%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 9P = €750YTM = 8%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 15 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 8%) se vend €1 091. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 080. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 091prix de remboursement anticipé = €1 080remboursement anticipé dans 3 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €12 000 000, des actions privilégiées valant €1 000 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 11%, le coût des actions privilégiées de 7,5% et le coût de la dette avant impôt de 4%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €8,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 0,6, le taux sans risque de 3,5% et la rentabilité du marché de 9%. Trouvez le WACC.
β = 0,6rf = 3,5%rm = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 29, 20, 23, 10, 43.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 104.
μ = 100σ = 10x = 104
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 4 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 4
P =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 5 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 5p = 0,2
P =
13.Loi normaleMoyen
Les masses de sacs de ciment sont indépendantes et normales, de moyenne 25 kg et d’écart-type 0,5 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 8 d’entre eux soit inférieure à 197,9 kg. Arrondissez z à deux décimales.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 197.9 kg
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 5 % des valeurs (le 5e centile).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 éléments a une moyenne de 65 et un écart-type s = 10,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 16x̄ = 65s = 10,590%t(15) = 1,753
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 22. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 22E = 0,595%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 501,4 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,4s = 12n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 50 contre H₁ : μ < 50 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 64 ; l’écart-type est connu et vaut 12. En réalité, la moyenne vaut 45.2. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 50μ = 45,2σ = 12n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 39 ?
n = 5ŷ = 39
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 30439 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,06·7 = 0,42
e0,42 = 1,522
Valeur future
FV = 20 000·1,522 = €30 439,23
Réponse
FV = €30 439,23
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 1347 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €1 347,36
Réponse
A = €1 347,36
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −1502 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 8 000/1,09 = 7 339,45
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 9 000/1,295 = 6 949,65
Additionner
NPV = €−1 502,50
Réponse
NPV = €−1 502,50
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 29,43 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 1 672,00
NPV(30%) = −200,27
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,08)−9 = €500,25
Coupon
C = (750 − 500,25)/6,247 = €39,98
Taux du coupon
c = 39,98/1000 = 3,998%
Réponse
c = 3,998%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 7,019 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1091 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
Résoudre numériquement
y = 7%: €1 091,55
y = 8%: €1 063,51
YTC = 7,019%
Réponse
YTC = 7,019%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 7,001%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,226 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (104 − 100)/10 = 0,4
Réponse
z = 0,4
11.Probabilités
Réponse: P = 0,5177
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Réponse
P = 0,5177
12.Probabilités
Réponse: P = 0,7373
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,85 = 0,3277
P(X = 1) = 5·0,2·0,84 = 0,4096
Les additionner
P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373
Réponse
P = 0,7373
13.Loi normale
Réponse: P = 0,06944
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi du total
μT = 200 kg, σT = 0,5·√8 = 1,414 kg
Centrer-réduire
z = (197,9 − 200)/1,414 = −1,48
Probabilités
P = Φ(−1,48) = 0,06944
Réponse
P = 0,06944
14.Loi normale
Réponse: x = 22,13 min
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Retour à x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Réponse
x = 22,13 min
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 60,4
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Marge d'erreur
E = 1,753·10,5/√16 = 4,602
Intervalle
65 ± 4,602 → [60,4, 69,6]
Réponse
borne inférieure = 60,4
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 7438
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·22/0,5)² = 7437
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 7438
Réponse
n = 7438
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 0,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Statistique de test
t = (501,4 − 500)/2 = 0,7
Réponse
t = 0,7
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 80,89 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 50 − 2,326·1,5 = 46,51
z avec la vraie moyenne
z = (46,51 − 45,2)/1,5 = 0,874
Puissance
puissance = P(Z < 0.874) = 80.89%
1 − β = 80,89%
Réponse
1 − β = 80,89%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9902
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 458/6 = 76,33
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 412
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2473
Coefficient de corrélation
r = 412/√(70·2473) = 0,9902
Réponse
r = 0,9902
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 3,68
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 199/5 = 39,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 25
Droite de régression
b = 25/10 = 2,5
a = 39,8 − 2,5·4 = 29,8
ŷ = 29,8 + 2,5·x
Résoudre pour x
x = (39 − 29,8)/2,5 = 3,68
Réponse
x = 3,68
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