Une annuité verse €2 000 à la fin de chaque année pendant 20 ans. Le taux d’intérêt est de 8 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €2 000i = 8%n = 20
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités constantes sur 3 ans à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €15 0003% / 12N = 36
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €30 000, €19 000, €26 000, €14 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €50 000 et rapporte €22 000, €36 000, €27 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 22 000CF2 = 36 000CF3 = 27 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 6 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 3,5%n = 6
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 10 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 9%) se vend €1 180. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 090. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 180prix de remboursement anticipé = €1 090remboursement anticipé dans 3 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,75. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
D/E = 0,75re = 14%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1,5. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 3% et la prime de risque du marché de 5,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 1,5T = 21%rf = 3%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 31, 29, 19, 18, 53.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 75. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 462,5 ?
μ = 500σ = 75x = 462,5
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,05, 0,35, 0,3, 0,25
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,7k = 3
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 482 et 508 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 508
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 15 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 80 téléphones, moyenne 63,5 h, écart-type connu 14 h. Modèle 2 : 40 téléphones, moyenne 71 h, écart-type connu 13 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 25. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 25E = 0,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 5 étudiants, note moyenne 28,5, écart-type 9,5. Groupe 2 : 9 étudiants, note moyenne 44,4, écart-type 9. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 5x̄₁ = 28,5s₁ = 9,5n₂ = 9x̄₂ = 44,4s₂ = 9
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 120 patients sur 300 sous traitement A guérissent, et 64 sur 200 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 64n₂ = 200
z =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 21,5.
n = 5x = 21,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 19636 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2145)/0,08 = 9,818
Valeur actuelle
PV = 2 000·9,818 = €19 636,29
Réponse
PV = €19 636,29
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 703,9 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,0025, N = 36
A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−36) = €436,22
Total des intérêts
I = N·A − P = 36·436,2 − 15 000 = €703,85
Réponse
I = €703,85
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 5554 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 30 000/1,15 = 26 086,96
CF2/(1 + 0,15)2 = 19 000/1,322 = 14 366,73
CF3/(1 + 0,15)3 = 26 000/1,521 = 17 095,42
CF4/(1 + 0,15)4 = 14 000/1,749 = 8 004,55
Additionner
NPV = €5 553,65
Réponse
NPV = €5 553,65
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 30,7 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 514,34
NPV(35%) = −2 976,68
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,0175, N = 12
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €429,58
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,8121 = €812,06
Prix
P = €1 241,64
Réponse
P = €1 241,64
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 5,213 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1180 = 90·(1 − (1 + y)−3)/y + 1090/(1 + y)3
Résoudre numériquement
y = 5%: €1 186,68
y = 6%: €1 155,76
YTC = 5,213%
Réponse
YTC = 5,213%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 6,497%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,851 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Poids à partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·14% + 0,4286·6%·(1 − 0,28) = 9,851%
Réponse
WACC = 9,851%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 13,82 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,79·1,5) = 1,967
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3% + 1,967·5,5% = 13,82%
Réponse
re = 13,82%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 14,11
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,5
Table de la loi normale
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Réponse
P = 0,3085
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,062
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45
z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,2) − Φ(−0,45) = 0,5793 − 0,3264 = 0,2529
Réponse
P = 0,2529
14.Loi normale
Réponse: x = 255,2 g
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,85
z d’après la table
z ≈ 1,04
Retour aux unités d’origine
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Réponse
x = 255,2 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −12,56 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 71 = −7,5
Erreur type
SE = √(14²/80 + 13²/40) = 2,584
Marge d'erreur
E = 1,96·2,584 = 5,064
Intervalle
−7,5 ± 5,064 → [−12,56, −2,436]
Réponse
borne inférieure = −12,56 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 16590
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·25/0,5)² = 16589
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 16590
Réponse
n = 16590
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,109
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (4·9,5² + 8·9²)/12 = 84,08
sp = 9,17
Erreur type
SE = 9,17·√(1/5 + 1/9) = 5,115
Statistique de test
t = (28,5 − 44,4)/5,115 = −3,109
Réponse
t = −3,109
Avec df = 12, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,179 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 1,817
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 120/300 = 0,4
p̂₂ = 64/200 = 0,32
p̂ = 184/500 = 0,368
Erreur type sous H₀
SE = √(0,368·0,632·(1/300 + 1/200)) = 0,04402
Statistique de test
z = (0,4 − 0,32)/0,04402 = 1,817
Réponse
z = 1,817
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9761
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 498/6 = 83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1982
Coefficient de détermination
r² = 368²/(70·1982) = 0,9761
Réponse
r² = 0,9761
Environ 97,61 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 81,9
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 450/5 = 90
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 486
Droite de régression
b = 486/90 = 5,4
a = 90 − 5,4·23 = −34,2
ŷ = −34,2 + 5,4·x
Prédiction
ŷ = −34,2 + 5,4·21,5 = 81,9
Réponse
ŷ = 81,9
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