Tu as besoin de €20 000 dans 3 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €20 0004% / 12n = 3
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €25 000 est remboursé par mensualités constantes sur 6 ans à 6 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €25 0006% / 12N = 72
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €12 000, €10 000, €11 000. Le coût du capital est de 9 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €13 000, €9 500, €10 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 9 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 3 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) quand son taux de rendement actuariel est de 3%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 3,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 3y0 = 3%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €1 100. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 6P = €1 100
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €52,00 chacune et 10 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,8, le taux sans risque de 3% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,8rf = 3%rm = 8,5%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 53, 30, 34, 48, 31, 16, 20.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 92,5 ?
μ = 100σ = 15x = 92,5
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 7 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?
n = 7p = 0,7k = 3
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 440 et 508 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 508
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 10 % des valeurs (le 10e centile).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 30 éléments a une moyenne de 38 et un écart-type s = 16,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 30x̄ = 38s = 16,590%t(29) = 1,699
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 21 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 2,6 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 20, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 9,591 et 2,5 % au-dessus de 34,17.
n = 21s = 2,6 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 6 étudiants, note moyenne 53, écart-type 11. Groupe 2 : 8 étudiants, note moyenne 65,6, écart-type 2. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 6x̄₁ = 53s₁ = 11n₂ = 8x̄₂ = 65,6s₂ = 2
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 4 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 16. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 5Σx = 30Σy = 76Σx² = 220Σy² = 1284Σxy = 526
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (2,5, 57). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 57)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 17742 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·3 = 36
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,127 = €17 741,95
Réponse
PV = €17 741,95
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 4831 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,005, N = 72
A = 25 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−72) = €414,32
Total des intérêts
I = N·A − P = 72·414,3 − 25 000 = €4 831,20
Réponse
I = €4 831,20
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2080 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 12 000/1,09 = 11 009,17
CF2/(1 + 0,09)2 = 10 000/1,188 = 8 416,80
CF3/(1 + 0,09)3 = 11 000/1,295 = 8 494,02
Additionner
NPV = €−2 080,01
Réponse
NPV = €−2 080,01
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 30,65 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 172,96
NPV(35%) = −1 093,33
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 100 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Résoudre numériquement
P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17
YTM = 5,028%
Réponse
YTM = 5,028%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,597 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·7%·(1 − 0,258) = 7,597%
Réponse
WACC = 7,597%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 11,38 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,5
Table de la loi normale
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Réponse
P = 0,6915
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 112,8
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5
z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,2) − Φ(−1,5) = 0,5793 − 0,06681 = 0,5125
Réponse
P = 0,5125
14.Loi normale
Réponse: x = 169 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Retour à x
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Réponse
x = 169,03 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 32,88
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Marge d'erreur
E = 1,699·16,5/√30 = 5,118
Intervalle
38 ± 5,118 → [32,88, 43,12]
Réponse
borne inférieure = 32,88
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 1,989 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 20·2,6² = 135,2
Bornes pour σ²
135,2/34,17 = 3,957
135,2/9,591 = 14,1
Borne pour σ
σ = √3,957 = 1,989 µm
Réponse
σ = 1,989 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [1,989, 3,755] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,212
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (5·11² + 7·2²)/12 = 52,75
sp = 7,263
Erreur type
SE = 7,263·√(1/6 + 1/8) = 3,922
Statistique de test
t = (53 − 65,6)/3,922 = −3,212
Réponse
t = −3,212
Avec df = 12, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,179 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 174
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((1,645 + 1,645)·16/4)² = 173,2
Arrondir vers le haut
n = 174
Réponse
n = 174
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9752
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 526 − 30·76/5 = 70
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1284 − 76²/5 = 128,8
Coefficient de corrélation
r = 70/√(40·128,8) = 0,9752
Réponse
r = 0,9752
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 2,895
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 398/6 = 66,33
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107
Droite de régression
b = 107/17,5 = 6,114
a = 66,33 − 6,114·4,5 = 38,82
ŷ = 38,82 + 6,114·x
Valeur prédite
ŷ = 38,82 + 6,114·2,5 = 54,1
Résidu
e = 57 − 54,1 = 2,895
Réponse
e = 2,895
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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