Une annuité verse €500 à la fin de chaque année pendant 20 ans. Le taux d’intérêt est de 8 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €500i = 8%n = 20
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €300 à la fin de chaque mois pendant 28 ans. Le compte rapporte 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €3002,4% / 12N = 336
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €6 000, €11 000, €13 000, €9 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Son flux vaut €14 500 à la fin de l’année 1 et croît de 3 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 7. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €14 500g = 3%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 11 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €952 quand le taux de rendement actuariel est de 2,5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 11P = €952YTM = 2,5%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €905 avec un taux de rendement actuariel de 6% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 8,3 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 75 points de base.
P0 = €905y = 6%D = 8,3Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,6 a un rendement exigé de 12,6%. Le taux sans risque est de 3%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,6re = 12,6%rf = 3%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 4 000 000 actions cotant €16,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €19 200 000. Elle vient de verser un dividende de €1,70 par action, et les dividendes croissent de 3% par an. Sa dette a une valeur de marché de €38 400 000 et un coût avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 58, 40, 56, 31, 25.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 124 ?
μ = 100σ = 12x = 124
P =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 6 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 6
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,25k = 3
P =
13.Loi normaleMoyen
X est normale de moyenne 60 s et d’écart-type 5 s ; Y est indépendante et normale de moyenne 45 s et d’écart-type 4 s. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 114,6 s. Arrondissez z à deux décimales.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 114,6 s
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,02 mm et d’écart-type 0,01 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 60 téléphones, moyenne 105 h, écart-type connu 14 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 118 h, écart-type connu 19 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 12. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?
σ = 12E = 2,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 77,4 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,4s = 4n = 16
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 4. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 4E = 0,590%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 6Σx = 21Σy = 136Σx² = 91Σy² = 3112Σxy = 455
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 48 ?
n = 6ŷ = 48
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 4909 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2145)/0,08 = 9,818
Valeur actuelle
PV = 500·9,818 = €4 909,07
Réponse
PV = €4 909,07
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 143525 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €100 800 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 459,7 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 11 000/1,21 = 9 090,91
CF3/(1 + 0,1)3 = 13 000/1,331 = 9 767,09
CF4/(1 + 0,1)4 = 9 000/1,464 = 6 147,12
Additionner
NPV = €459,67
Réponse
NPV = €459,67
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −28520 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 1,995 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,025)−11 = €762,14
Coupon
C = (952 − 762,14)/9,514 = €19,95
Taux du coupon
c = 19,95/1000 = 1,995%
Réponse
c = 1,995%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 851,9 €
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 8,3/1,06 = 7,83
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −7,83·(0,0075) = −5,873%
P ≈ 905·(1 − 0,05873) = €851,85
Réponse
P = €851,85
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 9 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (12,6% − 3%)/1,6 = 6%
Rendement du marché
rm = 3% + 6% = 9%
Réponse
rm = 9%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,559 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 2
Table de la loi normale
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Réponse
P = 0,02275
11.Probabilités
Réponse: P = 0,6651
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Réponse
P = 0,6651
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2503
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la somme
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Centrer-réduire
z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5
Queue supérieure
P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681
Réponse
P = 0,06681
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9207
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Réponse
P = 0,9207
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = −8,686 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 105 − 118 = −13
Erreur type
SE = √(14²/60 + 19²/100) = 2,622
Marge d'erreur
E = 1,645·2,622 = 4,314
Intervalle
−13 ± 4,314 → [−17,31, −8,686]
Réponse
borne supérieure = −8,686 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 153
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·12/2,5)² = 152,9
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 153
Réponse
n = 153
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,4
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Statistique de test
t = (77,4 − 75)/1 = 2,4
Réponse
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 174
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,645·4/0,5)² = 173,2
Arrondir vers le haut
n = 174
Réponse
n = 174
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9269
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 455 − 21·136/6 = −21
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 3112 − 136²/6 = 29,33
Coefficient de corrélation
r = −21/√(17,5·29,33) = −0,9269
Réponse
r = −0,9269
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 2,556
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 330/6 = 55
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63
Droite de régression
b = 63/17,5 = 3,6
a = 55 − 3,6·4,5 = 38,8
ŷ = 38,8 + 3,6·x
Résoudre pour x
x = (48 − 38,8)/3,6 = 2,556
Réponse
x = 2,556
Ceci est un support d’entraînement indépendant. ExamProblems n’est ni affilié à l’organisme qui organise cet examen ni approuvé par lui, et le nom de l’examen sert uniquement à décrire le contenu. CFA® and Chartered Financial Analyst® sont des marques de CFA Institute, qui n’est pas affilié à ExamProblems, ne le cautionne pas et n’en garantit pas l’exactitude.