Tu places €2 000 à un taux nominal de 3 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 5 ans.
PV = €2 0003% / 12n = 5
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €300 à la fin de chaque mois pendant 20 ans. Le compte rapporte 3 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €3003% / 12N = 240
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €60 000 aujourd’hui. Elle génère €12 000 à la fin de chaque année pendant 7 ans et peut ensuite être revendue €6 000. Le coût du capital est de 6 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €60 000CF = €12 000S = €6 000n = 7r = 6%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €17 000, €17 000, €15 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 17 000CF3 = 15 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 12 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 2,5% à 2%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 12y1 = 2,5%y2 = 2%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 13 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 145. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%P = €1 145prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €8 000 000, des actions privilégiées valant €1 500 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 9%, le coût des actions privilégiées de 6,5% et le coût de la dette avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €27,00 chacune et 10 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 6,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 6,5%rd = 7%T = 20%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 29, 31, 32, 49, 44, 37.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 50. Trouve le score z z d'une note de 450.
μ = 500σ = 50x = 450
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35
σ =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 9 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 9p = 0,1
P =
13.Loi normaleMoyen
X est normale de moyenne 60 s et d’écart-type 5 s ; Y est indépendante et normale de moyenne 45 s et d’écart-type 4 s. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 111,4 s. Arrondissez z à deux décimales.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 111,4 s
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 20 % des valeurs (le 20e centile).
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 12 éléments a une moyenne de 86 et un écart-type s = 5,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 12x̄ = 86s = 5,595%t(11) = 2,201
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 6 parcelles, rendement moyen 58,5 kg, écart-type 6,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 10 parcelles, moyenne 67 kg, écart-type 9,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 116,5 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,5s = 8n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 81 mesures a une moyenne de 502,9. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 502,9σ = 10n = 8195%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 108 ?
n = 6ŷ = 108
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 2323 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €72 000 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 10979 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle des flux annuels
12 000·5,582 = 66 988,58
Valeur actuelle de la valeur résiduelle
6 000/1,504 = 3 990,34
NPV
NPV = −60 000 + 66 988,58 + 3 990,34 = €10 978,92
Réponse
NPV = €10 978,92
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 44,09 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(40%) = 1 282,80
NPV(45%) = −270,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1145 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 3%: €1 189,15
y = 4%: €1 138,35
YTC = 3,866%
Réponse
YTC = 3,866%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 4,502%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,9 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 500 000·€27,00 = €67 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2% + 1,2·4,5% = 7,4%
Pondérations
V = €77 500 000, E/V = 0,871, D/V = 0,129
WACC
WACC = 0,871·7,4% + 0,129·7%·(1 − 0,2) = 7,168%
Réponse
WACC = 7,168%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 7,975
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (450 − 500)/50 = −1
Réponse
z = −1
11.Probabilités
Réponse: σ = 12,44
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,99 = 0,3874
P(X = 1) = 9·0,1·0,98 = 0,3874
Les additionner
P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748
Réponse
P = 0,7748
13.Loi normale
Réponse: P = 0,1587
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la somme
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Centrer-réduire
z = (111,4 − 105)/6,403 = 1
Queue supérieure
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Réponse
P = 0,1587
14.Loi normale
Réponse: x = 26,95 min
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Retour à x
x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min
Réponse
x = 26,95 min
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 89,49
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 11, t = 2,201
Marge d'erreur
E = 2,201·5,5/√12 = 3,495
Intervalle
86 ± 3,495 → [82,51, 89,49]
Réponse
borne supérieure = 89,49
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −17,97 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (5·6,5² + 9·9,5²)/14 = 73,11
sp = 8,55
Marge d'erreur
E = 2,145·8,55·√(1/6 + 1/10) = 9,471
Intervalle
−8,5 ± 9,471 → [−17,97, 0,9709]
Réponse
borne inférieure = −17,97 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,625
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Statistique de test
t = (116,5 − 120)/1,333 = −2,625
Réponse
t = −2,625
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 505,1
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,96·10/√81 = 2,178
Borne de l'intervalle
U = 502,9 + 2,178 = 505,1
Réponse
U = 505,1
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9358
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 283/5 = 56,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Syy = Σ(y − ȳ)² = 617,2
Coefficient de détermination
r² = 152²/(40·617,2) = 0,9358
Réponse
r² = 0,9358
Environ 93,58 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 12,04
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 507/6 = 84,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 407
Droite de régression
b = 407/70 = 5,814
a = 84,5 − 5,814·8 = 37,99
ŷ = 37,99 + 5,814·x
Résoudre pour x
x = (108 − 37,99)/5,814 = 12,04
Réponse
x = 12,04
Ceci est un support d’entraînement indépendant. ExamProblems n’est ni affilié à l’organisme qui organise cet examen ni approuvé par lui, et le nom de l’examen sert uniquement à décrire le contenu. CFA® and Chartered Financial Analyst® sont des marques de CFA Institute, qui n’est pas affilié à ExamProblems, ne le cautionne pas et n’en garantit pas l’exactitude.