Tu as besoin de €50 000 dans 2 ans. Un compte rapporte 2 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €50 0002% / 4n = 2
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €8 000 est remboursé par mensualités égales sur 6 ans. Le taux d'intérêt est de 3 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €8 0003% / 12N = 72
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €30 000 aujourd’hui, dure 7 ans et coûte €4 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €30 000M = €4 000n = 7r = 10%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €14 000, €17 000, €13 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 17 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 8%n = 11
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €1 130. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 8P = €1 130
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,6 a un rendement exigé de 13,9%. Le taux sans risque est de 3,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,6re = 13,9%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 500 000 actions à €20,00 chacune et 40 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,2rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 17, 26, 25, 58, 59.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 44 ?
μ = 60σ = 20x = 44
P =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 3 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 3
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,5k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,1020. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,1020
z =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,02 mm et d’écart-type 0,01 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 7 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 2 et un écart-type de 6,5. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.
n = 7d̄ = 2sd = 6,595%t(6) = 2,447
E = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 23 parcelles, rendement moyen 70 kg, écart-type 9,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 8 parcelles, moyenne 60 kg, écart-type 6,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 50 pièces a une longueur moyenne de 53,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 10 mm. Ligne 2 : un échantillon de 100 pièces a une moyenne de 57 mm, écart-type connu 17 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 120 patients sur 300 sous traitement A guérissent, et 141 sur 300 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 141n₂ = 300
z =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 1,5.
n = 6x = 1,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 48044 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·2 = 8
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,041 = €48 044,26
Réponse
PV = €48 044,26
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 121,5 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·6 = 72
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 8 000·0,0025/(1 − 0,8355) = €121,55
Réponse
A = €121,55
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 10162 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,1−7)/0,1 = 4,868
Prix d’achat annualisé
30 000/4,868 = 6 162,16
EAC
EAC = 6 162,16 + 4 000 = €10 162,16
Réponse
EAC = €10 162,16
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 34,95 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 1 745,56
NPV(35%) = −18,04
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,04, N = 22
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,422)/0,04 = €505,79
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,422 = €421,96
Prix
P = €927,74
Réponse
P = €927,74
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 4,989 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 130 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(4%) = €1 201,98, P(5%) = €1 129,26
YTM = 4,989%
Réponse
YTM = 4,989%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 10 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (13,9% − 3,5%)/1,6 = 6,5%
Rendement du marché
rm = 3,5% + 6,5% = 10%
Réponse
rm = 10%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,922 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 500 000·€20,00 = €50 000 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 1,2·7% = 9,9%
Pondérations
V = €90 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
WACC
WACC = 0,5556·9,9% + 0,4444·4%·(1 − 0,2) = 6,922%
Réponse
WACC = 6,922%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 19,94
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Réponse
P = 0,7881
11.Probabilités
Réponse: P = 0,4213
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Réponse
P = 0,4213
12.Probabilités
Réponse: P = 0,04395
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,1020 = 0,8980
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,8980 dans la table et lisez z.
z = 1,27
Réponse
z = 1,27
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9207
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Réponse
P = 0,9207
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 6,012 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 6, t = 2,447
Marge d'erreur
E = 2,447·6,5/√7 = 6,012
Réponse
E = 6,012 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 16,19 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (22·9,5² + 7·6,5²)/29 = 78,66
sp = 8,869
Marge d'erreur
E = 1,699·8,869·√(1/23 + 1/8) = 6,185
Intervalle
10 ± 6,185 → [3,815, 16,19]
Réponse
borne supérieure = 16,19 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,583
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(10²/50 + 17²/100) = √4,89 = 2,211
Statistique de test
z = (53,5 − 57)/2,211 = −1,583
Réponse
z = −1,583
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,729
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 120/300 = 0,4
p̂₂ = 141/300 = 0,47
p̂ = 261/600 = 0,435
Erreur type sous H₀
SE = √(0,435·0,565·(1/300 + 1/300)) = 0,04048
Statistique de test
z = (0,4 − 0,47)/0,04048 = −1,729
Réponse
z = −1,729
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,894
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 451/6 = 75,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1023
Coefficient de détermination
r² = 253²/(70·1023) = 0,894
Réponse
r² = 0,894
Environ 89,4 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 23,51
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 127/6 = 21,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20,5
Droite de régression
b = −20,5/17,5 = −1,171
a = 21,17 − (−1,171)·3,5 = 25,27
ŷ = 25,27 − 1,171·x
Prédiction
ŷ = 25,27 + (−1,171)·1,5 = 23,51
Réponse
ŷ = 23,51
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